Prednaska

-obrazec, ( , ) funkce integrovatelná na a

( , ) funkce integrovatelná na . Potom platí

( , )

=

( , )

( )

( )

( , )

=

( , )

( )

( )

Integrály na pravých stranách se nazývají dvojnásobné.

Poznámka

Někdy píšeme kvůli stručnosti

( , )

=

( , )

( )

( )

respektive

( , )

=

( , )

( )

( )

ADITIVNÍ VLASTNOSTI DVOJNÉHO INTEGRÁLU
Jsou-li

( , ), = 1,2, … , funkce integrovatelné na oblasti a , =

1,2, … , reálné konstanty, potom funkce

( , ) =

( , )

je integrovatelná na oblasti a platí

( , )

=

( , )

Jsou-li

,

, … ,

po dvou disjunktní oblasti takové, že funkce ( , ) je na

nich integrovatelná, potom na sjednocení

=

těchto množin je funkce ( , ) také integrovatelná a platí

( , )

=

( , )

DALŠÍ VLASTNOSTI DVOJNÉHO INTEGRÁLU
Nechť ( , ) je funkce integrovatelná na oblasti a pro každý bod [ , ] ∈
platí ≤ ( , ) ≤ . Nechť | | označuje míru množiny (plošný obsah). Z
definice plyne snadno, že platí

| | ≤

( , )

≤ | |.

Dá se též dokázat, že existuje číslo takové, že < < a

( , )

= | |

Uveďme tento obrázek, jako nástin důkazu.

=

ZMRZLINA ZMRZLINA PO PŘEVAŘENÍ

DVOJNÝ INTEGRÁL NA OBDÉLNÍKU
Obdélník = [ ; ] × [ ; ] je zřejmě jak -obrazcem tak -obrazcem. Navíc je
převod podle Fubiniho věty na dvojnásobný integrál obzvlášť jednoduchý.

( , )

=

( , )

=

( , )

Pokud navíc můžeme psát

( , ) = ( ) ⋅ ( ), platí

( , )

=

( )

( )

Příklad
Vypočítejte dvojný integrál

2 −

kde je trojúhelník

, přičemž = [1; 1], = [5; 1], = [2; 3].

′

Trojúhelník

tvoří -obrazec, ale nikoliv -obrazec. Pokud bychom chtěli

dvojný integrál spočítat pomocí -obazce, museli bychom trojúhelník rozložit na
dva trojúhelníky

′ a ′ . Spočítáme jej oběma způsoby.

-obrazec

Přímka

: = ( + 1) je levá funkce a přímka : = (13 − 3 ) je pravá

funkce.

2 −

(

)

(

)

= [ − ]

(

)

(

)

= 4 − 26 + 42

=

=

4

3 − 13 + 42

=

44

3

-obrazec Pro trojúhelník

′ je dolní funkce přímka : = 1 a horní funkcí

přímka

: = 2 − 1. Pro trojúhelník ′

je dolní funkcí opět přímka

a

horní funkcí přímka

: = 1/3(13 − 2 ).

2 −

+

2 −

(

)

=

=

2 −

1
2

+

2 −

1
2

(

)

=

= 2 − 2

+ −

14

9

+

86

9 −

80

9

=

=

2

3 −

+ −

14

27 +

43

9 −

80

9

=

16

3 − 4 −

2
3 + 1 −

14 ⋅ 125

27

+

43 ⋅ 25

9

−

80 ⋅ 5

9 +

14 ⋅ 8

27 −

43 ⋅ 4

9 +

80 ⋅ 2

9 =

=

5
3 −

1750

27 +

1075

9 −

400

9 +

112

27 −

172

9 +

160

9 =

=

45 − 1750 + 3225 − 1200 + 112 − 516 + 480

27

=

396

27 =

44

3

POLÁRNÍ SOUŘADNICE
Některé rovinné obrazce se lépe popisují použitím polárních souřadnic.

=

+ ,

= arcsin

+

⋀ = arccos

+

Např. při integrování v kartézských souřadnicích přes následující obrazec

bychom ho museli rozdělit na tři -obrazce

+

= 4

+

= 9

V polárních souřadnicích by se však tentýž obrazec dal vyjádřit jako obdélník

2 ≤ ≤ 3 a 0 ≤ ≤

2 3

2 3

Při záměně souřadnic však musíme mít na mysli, že se tvary deformují a proto
nelze pouze do funkce dosadit nové proměnné. Definujme si nyní regulární

transformace v rovině.
Nechť , jsou omezené a uzavřené oblasti v rovině a nechť funkce =

( , ), = ( , ) mají spojité parciální derivace v . Pokud

( , ) =

( , )

( , )

( , )

( , ) ≠ 0, [ , ] ∈

nazývá se transformace : → , ([ , ] = [ ( , ), ( , )])
regulární a funkce ( , ) je její Jakobián.

Jakobián vyjadřuje koeficient, kterým se po transformaci změní obsah
infinitesimálních (velmi malých) plošek.

⃗ =

( , + ℎ) − ( , ); ( , + ℎ) − ( , )

⃗ = ( + ℎ, ) − ( , ); ( + ℎ, ) − ( , )

= [ , ]

= [ , + ℎ]

= [ ( , ), ( , )]

= [ ( , + ℎ), ( , + ℎ)]

= [ ( + ℎ, ), ( + ℎ, )]

= [ + ℎ, ]

ℎ

ℎ

⃗

⃗

′

Plošný obsah plošky ′ ′ ′ nahradíme obsahem rovnoběžníka daného vektory

⃗, ⃗. Podle věty o střední hodnotě můžeme psát

(ℎ)⃗ = ( ( , )ℎ; ( , )ℎ), (ℎ)⃗ = ( ( , )ℎ;

( , )ℎ)

kde čísla ,

leží mezi souřadnicemi bodů a a čísla ,

leží mezi

souřadnicemi bodů a
Z analytické geometrie víme, že plocha tohoto rovnoběžníka je

( , )

( , )

( , )

( , ) ℎ = ( , , ℎ)ℎ

Determinant ( , , ℎ) vyjadřuje pro dané ℎ poměr mezi ploškami před a po
transformaci. Limitním přechodem pro ℎ → 0 pak dostaneme Jakobián.

Záměna proměnných ve dvojném integrálu
Nechť , jsou omezené a uzavřené oblasti v rovině a nechť je dána regulární
transformace : → daná funkcemi = ( , ), = ( , ). Je-li ( , )
integrovatelná funkce, a

| ( , )| Jakobián této transformace, potom platí

( , )

=

( ( , ), ( , ))| ( , )|

Příklad

Najděte plošný obsah čtyřlístku daného rovnicí

( + ) / =

−

Plošný obsah oblasti se spočítá jako dvojný integrál ∬

.

Použijeme polární souřadnice a dosadíme = cos , = sin . Dostaneme

=

cos 2 neboli = cos 2

Jakobián transformace do polárních souřadnic je cos

sin

− sin

cos

= .

Protože obrazec má zřejmě čtyři osy symetrie, stačí spočítat pouze polovinu

jednoho lístku a výsledek vynásobit osmi. Vybereme
znamená to, že úhel bude probíhat interval
transformuje na tuto polovinu východního lístku, tedy bude

jednoho lístku a výsledek vynásobit osmi. Vybereme-li si východní lístek,

bude probíhat interval

. Obrazec, který se

transformuje na tuto polovinu východního lístku, tedy bude

čtyři osy symetrie, stačí spočítat pouze polovinu

li si východní lístek,

transformuje na tuto polovinu východního lístku, tedy bude vypadat takto:

Nyní použijeme Fubiniho větu

=

=

1
2

=

=

1
2

cos 2

/

=

1
4

1 + cos 4

/

=

1
4

+

1
4 sin 4

/

= 16

Tedy celkový plošný obsah čtyřlístku je /2.

Příklad
Spočítejte dvojný integrál

kde oblast je kruh

( − 1) +

≤ 1.

Řešení 1
Použijeme transformaci do polárních souřadnic. Dosazením do rovnice kružnice

dostaneme

( cos − 1) + ( sin ) = 1 a tedy = 2 cos

přičemž probíhá interval – /2 ; /2 .

cos

=

/

/

cos

=

1
3

[ cos ]

/

/

=

8
3

cos

/

/

=

8
3

1
4

(1 + cos 2 )

/

/

=

2
3

1 + 2 cos 2 + cos 2

/

/

=

2
3

3
2 + 2 cos 2 +

1
2 cos 4

/

/

=

=

1 +

4
3 cos 2 +

1
3 cos 4

/

/

=

+

2
3 sin 2 +

1

12 sin 4

/

/

= .

Řešení 2
Použijeme lehce modifikovanou transformaci do polárních souřadnic.

= cos + 1, = sin

Jakobián je tentýž, tj. , ale oblast , přes kterou se bude integrovat, je

tentokrát obdélník

= [0; 1] × [0; 2 ]

=

cos +

=

cos

3

+ 2

=

=

1
3 cos +

1
2

= 0 + = .

Tento příklad ukazuje, že někdy změna transformačních rovnic může výpočet

usnadnit.

Příklad
Najděte těžiště tenké elipsovité membrány dané nerovnicemi

+ 4 ≤ 4, ≥ 0, ≥ 0

je-li specifická hmotnost membrány daná jako

( , ) = ( + )

kde je konstanta.

1

2

Pro souřadnice těžiště

;

rovinné oblasti platí

=

∬

( , )

∬

( , )

=

∬

( , )

∬

( , )

Pro výpočet těchto integrálů použijeme transformace do vážených polárních
souřadnic =

cos ; =

sin , kde , jsou kladné konstanty.

Jakobián této transformace je

.

V našem případě máme = 2; = 1, = 2 .
Transformovaná oblast je obdélník

[0; 1] × [0; /2].

Jmenovatel obou zlomků

( + )

=

(4 ρ cos

+ ρ sin )

/

2

=

=

8cos

+ 2 sin

=

=

4(1 + cos 2 ) + 1 − cos 2

=

4 5 +

3
2 sin 2

/

=

Pro výpočet čitatelů si napřed spočítáme některé určité integrály.

cos

/

=

sin =

cos

=

= 1 −

= − 3 =

cos sin

/

=

sin =

cos

=

=

= 3 =

sin

/

=

cos =

−sin

=

= − 1 −

= − − 3 =

cos

sin

/

=

cos =

−sin

=

= −

= − 3 =

Čitatel pro souřadnici .

=

( + )

=

=

2 cos (4 cos

+

sin ) 2

=

=

16 cos

+ 4 cos φ sin

=

= 5

32

3 +

4
3 =

Čitatel pro souřadnici

=

( + )

=

=

sin ( cos

+ 4 sin ) 2

=

=

2 sin cos

+ 8 sin

=

= 5

2
3 +

16

3 =

Tedy souřadnice těžiště jsou

=

≈ .

, =

≈ .

=

,