09.a 10.prednaska z BMA1 - Taylorův polynom, L'Hospitalovo pravidlo

Diferenciální počet - II. část

(Taylorův polynom a L’Hospitalovo pravidlo)

Jiří Vítovec

9. a 10. přednáška z BMA1 (5. týden semestru)

Přednášky z Matematiky

Určeno studentům FEKT VUT

17. října 2012

Obsah

Taylorův polynom

Výpočet limit pomocí L’Hospitalova pravidla

Taylorův polynom

Slouží k libovolně přesné aproximaci (nahrazení) funkce f v okolí
bodu x0 polynomem stupně n.

Věta (Taylorova věta)

Nechť má funkce f v okolí bodu x0 vlastní derivace až do řádu
n + 1 pro nějaké n ∈ N0. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí

f (x ) = f (x0) +

f 0(x0)

1!

(x − x0) +

f 00(x0)

2!

(x − x0)

2 + · · ·

· · · +

f (n)(x0)

n!

(x − x0)

n + R

n+1(x ),

kde

Rn+1(x) =

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

(x − x0)

n+1

je tzv. zbytek a ξ je vhodné číslo ležící mezi x0 a x.

I

Vynecháme-li v předchozí rovnosti zbytek Rn+1(x), obdržíme
tzv. Taylorův polynom funkce f v bodě x0:

Tn(x) = f (x0)+

f 0(x0)

1!

(x −x0)+· · ·+

f (n)(x0)

n!

(x −x0)

n=

n

X

i =0

f (i)(x0)

i !

(x −x0)

i

I

Pokud položíme x0 = 0, získáme tzv. Maclaurinův polynom:

Tn(x) = f (0) +

f 0(0)

1!

x + · · · +

f (n)(0)

n!

x

n =

n

X

i =0

f (i)(0)

i !

x

i .

I

Je zřejmé, že pro zbytek Rn+1(x) platí vztah

Rn+1(x) = f (x) − Tn(x).

I

Situaci, že Taylorův polynom aproximuje funkci f , zapisujeme

f (x ) ≈ Tn(x).

Příklad
Určete Taylorův polynom 4. řádu se středem v bodě x0 = 1 funkce
f (x ) = x ln x .

Řešení:

f

0(x) = 1 + ln x, f 00(x) = 1

x ,

f

000(x) = −1

x 2

, f

(4)(x) = 2

x 3

.

f (1) = 0, f

0(1) = 1, f 00(1) = 1, f 000(1) = −1, f (4)(1) = 2.

Tedy

T4(x) = 0 +

1

1! (x − 1) +

1

2! (x − 1)

2 + −1

3! (x − 1)

3 + 2

4! (x − 1)