09.a 10.prednaska z BMA1 - Taylorův polynom, L'Hospitalovo pravidlo
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
4
=
1
12 (x
4 − 6x3 + 18x2 − 10x − 3).
Taylorovy (Maclaurinovy) polynomy elementárních funkcí v
bodě x0 = 0:
e
x ≈ 1 +
x
1!
+
x 2
2!
+ · · · +
x n
n!
sin x ≈
x
1!
−
x 3
3!
+
x 5
5!
· · · + (−1)k−1
x 2k−1
(2k − 1)!
cos x ≈ 1 −
x 2
2!
+
x 4
4!
+ · · · + (−1)
k x
2k
(2k)!
ln(1 + x ) ≈
x
1
−
x 2
2
+
x 3
3
− · · · + (−1)n−1
x n
n
Příklad
a) Dokažte výše uvedené vzorce!
b) Určete polynom T3 funkce y = cos 2x v bodě x0 = 0.
c) Určete polynom T6 funkce y = x
6 − 7x3 + 11 v bodě x0 = 13.
[Řešení:
b) T3 = 1 − 2x
2
c) y = x 6 − 7x 3 + 11]
Výpočet limit pomocí L’Hospitalova pravidla
Věta (L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť x0 ∈ R
∗ a nechť funkce f a g jsou definované v nějakém
ryzím okolí bodu x0 a mají zde derivaci. Nechť platí buď
lim
x →x0
f (x ) = lim
x →x0
g (x ) = 0,
nebo
lim
x →x0
|f (x)| = lim
x →x0
|g (x)| = ∞.
Nechť dále L ∈ R
∗ a limita
lim
x →x0
f 0(x )
g 0(x )
= L.
(1)
Potom platí
lim
x →x0
f (x )
g (x )
= lim
x →x0
f 0(x )
g 0(x )
= L.
(2)
Poznámka
I
Analogické tvrzení platí i pro obě jednostranné limity.
I
Z neexistence limity (1) neplyne neexistence limity (2).
I
L’Hospitalovo pravidlo lze použít jen u limit typu
0
0
,
±∞
±∞
.
I
Vhodnou úpravou lze převést neurčité výrazy typu
0 · ∞
,
∞ − ∞
,
1∞
,
∞0
a
00
na jeden z typů
0
0
,
∞
∞
.
I
L’Hospitalovo pravidlo lze použít i opakovaně. Vycházejí-li
stále i po (n -1). zderivování čitatele a jmenovatele neurčité
výrazy typu
0
0
či
±∞
±∞
, pak (1) ⇒ (2) lze zobecnit na
lim
x →x0
f (n)(x )
g (n)(x )
= L
⇒
lim
x →x0
f (x )
g (x )
= lim
x →x0
f (n)(x )
g (n)(x )
= L.
POZOR!
Při použití L’Hospitalova pravidla nederivujeme