4.Taylorův polynom
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Taylorův polynom
Robert Mařík
30. srpna 2010
Motivace. Předpokládejme že je dána funkce f s následujícími vlastnostmi:
•
Dokážeme vypočítat funkční hodnotu a hodnotu derivací (až do řádu n) v jistém
bodě x
0.
•
Nemáme dostatečně efektivní algoritmus na výpočet funkčních hodnot v ostat-
ních bodech x 6= x
0.
Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodu x
0 se budeme sna
žit funkci
aproximovat jednodušší funkcí, v našem případě polynomem stupně n. Nejlepší
polynom, který funkci f v okolí bodu x
0 aproximuje je takový polynom, který má
s danou funkcí totožné v bodě x
0 derivace a
ž do řádu n. Takový polynom se nazývá
Taylorův polynom a nalezneme ho pomocí následující definice.
Definice (Taylorův polynom). Nechť n ∈ N je přirozené číslo a f funkce, která je
definovaná v bodě x
0 ∈ R a má zde v
šechny derivace do řádu n včetně. Polynom
T
n(x)
= f (x
0)
+
f
0(x
0)
1!
(x − x
0)
+
f
00(x
0)
2!
(x − x
0)
2 + · · · +
f
(n)(x
0)
n!
(x − x
0)
n
se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě x
0. Bod x0 se nazývá st
řed
Taylorova polynomu.
Poznámka 1. Taylorův polynom je jediný polynom stupně n, který má s funkcí f v bodě
x
0 spole
čnou funkční hodnotu a hodnotu prvních n derivací. V případě že středem
polynomu je x
0
= 0 používáme pro Taylorův polynom název Maclaurinův polynom.
//
/
.
..
c
Robert Mařík, 2010 ×
Věta 1 (Taylorova věta). Nechť funkce f má v bodě x
0 a n
ějakém jeho okolí O(x
0)
spojité derivace do řádu n + 1, včetně. Pak pro všechna x ∈ O(x
0) platí
f (x) = T
n(x)
+ R
n+1(x),
kde T
n(x) je Taylor
ův polynom funkce f stupně n se středem v bodě x
0 a Rn+1(x) je
zbytek. Tento zbytek splňuje