Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




4.Taylorův polynom

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (127.24 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

Taylorův polynom

Robert Mařík

30. srpna 2010

Motivace. Předpokládejme že je dána funkce f s následujícími vlastnostmi:

Dokážeme vypočítat funkční hodnotu a hodnotu derivací (až do řádu n) v jistém
bodě x

0.

Nemáme dostatečně efektivní algoritmus na výpočet funkčních hodnot v ostat-
ních bodech x 6= x

0.

Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodu x

0 se budeme sna

žit funkci

aproximovat jednodušší funkcí, v našem případě polynomem stupně n. Nejlepší
polynom, který funkci f v okolí bodu x

0 aproximuje je takový polynom, který má

s danou funkcí totožné v bodě x

0 derivace a

ž do řádu n. Takový polynom se nazývá

Taylorův polynom a nalezneme ho pomocí následující definice.

Definice (Taylorův polynom)Nechť n ∈ N je přirozené číslo a f funkce, která je
definovaná v bodě x

0 ∈ R a má zde v

šechny derivace do řádu n včetně. Polynom

T

n(x)

= f (x

0)

+

f

0(x

0)

1!

(x − x

0)

+

f

00(x

0)

2!

(x − x

0)

2 + · · · +

f

(n)(x

0)

n!

(x − x

0)

n

se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f v bodě x

0. Bod x0 se nazývá st

řed

Taylorova polynomu.

Poznámka 1. Taylorův polynom je jediný polynom stupně n, který má s funkcí f v bodě
x

0 spole

čnou funkční hodnotu a hodnotu prvních n derivací. V případě že středem

polynomu je x

0

= 0 používáme pro Taylorův polynom název Maclaurinův polynom.

//

/

.

..

c

Robert Mařík, 2010 ×

Věta 1 (Taylorova věta)Nechť funkce f má v bodě x

0 a n

ějakém jeho okolí O(x

0)

spojité derivace do řádu n + 1, včetně. Pak pro všechna x ∈ O(x

0) platí

f (x) = T

n(x)

+ R

n+1(x),

kde T

n(x) je Taylor

ův polynom funkce f stupně n se středem v bodě x

0 a Rn+1(x) je

zbytek. Tento zbytek splňuje

Témata, do kterých materiál patří