4.Taylorův polynom
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Rn+1(x) =
f
(n+1)(c)
(n + 1)!
(x − x0)
n+1,
(1)
kde c je vhodné číslo ležící mezi x a x0.
Poznámka 2 (aproximace a její přesnost). Z vyjádření zbytku (1) plyne, že tento zbytek
je malý, jestliže
• x
je blízko x
0, tj. absolutní hodnota rozdílu (x − x0) je malá
• n
je velké
• f
(n+1)(x) je malá v uvažovaném okolí bodu x
0
Jsou-li tyto podmínky splněny, můžeme psát v okolí bodu x
0
f (x) ≈ T
n(x)
a chyba, které se při tom dopustíme bude malá. (Z (1) jsme schopni určit maximální
hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.)
//
/
.
..
c
Robert Mařík, 2010 ×
Poznámka 3 (aplikační). Taylorův polynom tedy slouží k tomu, abychom jistou funkční
závislost aproximovali závislostí polynomickou. Tím se závislost podstatně zjednoduší,
protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí. Mějme však na paměti, že
polynomická aproximace může být vynikající, ale i dostatečná pouze pro některá x,
nebo dokonce tak špatná, že její použití nevede k rozumným výsledkům.
//
/
.
..
c
Robert Mařík, 2010 ×
Aproximace funkce f : y = cos x v okolí bodu x = 0 pomocí Taylorova polynomu.
T
n(x)
= f (x
0)
+
f
0(x
0)
1!
(x − x
0)
+
f
00(x
0)
2!
(x − x
0)
2 + · · · +
f
(n)(x
0)
n!
(x − x
0)
n
2π
−
2π
π
−π
x
y
n = 0
T
0(x)
= 1
//
/
.
..
c
Robert Mařík, 2010 ×
Aproximace funkce f : y = cos x v okolí bodu x = 0 pomocí Taylorova polynomu.
T
n(x)
= f (x
0)
+
f
0(x
0)
1!
(x − x
0)
+
f
00(x
0)
2!
(x − x
0)
2 + · · · +
f
(n)(x
0)
n!
(x − x
0)
n
2π
−
2π
π
−π
x
y
n = 2
T
2(x)
= 1 −
x
2
2
//
/
.
..
c
Robert Mařík, 2010 ×
Aproximace funkce f : y = cos x v okolí bodu x = 0 pomocí Taylorova polynomu.
T
n(x)
= f (x
0)
+
f
0(x
0)
1!
(x − x
0)
+
f
00(x
0)
2!
(x − x
0)
2 + · · · +
f
(n)(x
0)