BPC-VMP-DU118_řešení

DOM ´

AC´

I ´

ULOHA ˇ

c. 1

Z t´

eto sady pˇr´ıklad˚

u m˚

uˇ

zete z´ıskat maxim´

alnˇ

e 3 body. Kaˇ

zd´

y pˇr´ıklad je

hodnocen´

y 1 bodem.V zad´

an´ı se vyskytuje parametr

”

a“. Kaˇ

zd´

y student si

urˇ

c´ı hodnotu tohoto parametru jako souˇ

cet cifer dne narozen´ı a v pˇr´ıpadˇ

e

v´ıcecifern´

eho v´

ysledku tyto cifry seˇ

cte (29.12.1987=2+9=11⇒ a = 2).

1. Rozhodnˇ

ete pro jak´

y parametr p jsou vektory ~

v1 = (1, 0, 1, 1)

T , ~v

2 =

(a, 1, a, a + 1)T , ~

v3 = (2, −2, 3, −a)

T , ~v

4 = (a, −a, a + 1, p)

T line´arnˇe

nez´

avisl´

e, tj. tvoˇr´ı b´

azi.

D´

ale vypoˇ

ctˇ

ete souˇradnice vektoru ~b = (3 − a, −4, 4 − a, −2a − 1)T

vzhledem k b´

azi vektor˚

u ~

v1, ~v2, ~v3, ~v4.

ˇ

Reˇsen´ı:

vektory jsou line´

arnˇ

e z´

avisl´

e pro p = a. Souˇradnice jsou (a + 1, −2, 1.0)

2. Je d´

an syst´

em 3 line´

arn´ıch rovnic o 3 nezn´

am´

ych. V matici soustavy

syst´

emu A =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

nahrad’te ˇ

c´ıslo, kter´

e je rovno hodnotˇ

e ˇ

c´ısla

a parametrem p. Vyˇreˇste tento syst´

em, je-li vektorem prav´

ych stran

(10, 10, 10)T a proved’te diskusi vzhledem k parametru.

ˇ

Reˇsen´ı:

Soustava m´

a nekoneˇ

cnˇ

e mnoho ˇreˇsen´ı pro p = a (t − 10, 20 − t, t)T a

jedin´

e ˇreˇsen´ı pro parametr a sice

• (0, −10, 10)T pro a ∈ {1, 4, 7}

• (−5, 0, 5)T pro a ∈ {2, 5, 8}

• (−10, 10, 0)T pro a ∈ {3, 6, 9}

3. ˇ

Reˇste maticovou rovnici

a − 5

a

a − 2

a

a + 1 a + 1

a − 7

a

a − 3

X =

a + 1

−a

−2 a − 1

a + 3

−a + 1 −2 a − 3

−2 a − 2 2 a − 1

4 a + 3

ˇ

Reˇsen´ı

a − 1 a + 2 a − 1

a + 1

a

a

a − 1 a + 3 a − 2