Otázka 01 - Matematický aparát

1. Matematický aparát pro popis ekonomických jevů, tvorba mikroekonomického modelu definice použitých vztahů, optimální řešení, problémové okruhy modelování.

Ekonomická skutečnost je většinou velmi složitá a ve své úplné podobě by nemohla být zkoumána exaktními metodami. Pracuje se proto s modely, a to s modely fungování tržních subjektů.

Ekonomické modely jsou sestrojovány za předpokladu:

• zásada neměnných podmínek - ceteris paribus

• Záměrné a účelné zjednodušování skutečnosti

• Uspořádaný soubor prvků a vazeb

Popis modelu je možné uskutečnit:

• Verbálně s číselnými údaji v textu;

• tabulkami;

• graficky;

• matematickými výrazy (rovnicemi)

• nejčastěji kombinace

Způsoby popisu modelů:

• Matematické rovnice

• Algebraické

Lineární algebraické - vyjadřující vztah mezi dvěma proměnnými, který udává, jakou hodnotu má funkce za určité hodnoty (nezávisle) proměnné.

• Ty jsou bezesporu typem nejjednodušším

• Velice často používané

• Mají známý obecný tvar:

y = ax + b kde x a y jsou proměnné, a a b konstanty

Při řešení typických úloh ekonomie jde však velmi často o vyznačení průběhu vztahů, tedy o to, k jaké změně funkce dochází v jednotlivých bodech při velmi malých změnách proměnné dx. To je záležitostí

• Diferenciální

Diferenciální rovnice, popis změn, ke kterým dochází v jednotlivých bodech při velmi malých změnách proměnné dx. Jsou obyčejné nebo parciální. Jejich znalost umožní poznání mechanismu procesů a tedy i kvalifikovaný odhad podoby vztahů v poměrech jiných, než jaké byly prozkoumány. Integrací je možné diferenciální rovnice převést na algebraické výrazy a tím se také usnadní jejich různé aplikace.

• Logistická křivka

Rovnice logistické křivky - (S-křivky, křivky s inflexním bodem).

• závisle proměnná y zde jednak roste působením konstanty k a jednak je v tomto růstu brzděna existencí stropu b, který odpovídá maximální hodnotě funkce, tj. podmínce y

• = ymax- Brzdění se zeslabuje se zmenšujícím se rozdílem b a y, tj. tou měrou, jakou se křivka blíží ke svému vrcholu. Pro konkrétní výpočty hodnot závisle proměnné se samozřejmě používá integrovaná podoba rovnice:

Kde: a y0 představuje hodnotu závisle proměnné y při nulové hodnotě nezávisle proměnné x (počáteční podmínka).

• Křivka normálního rozložení ve statistice

• atd

Rovnici paraboly používají mikroekonomové poměrně často, protože hledání minima nebo maxima funkce je u ní snadné. Obecná rovnice:

y = ax2 + bx + c

má konstantu a kladnou, pokud křivka prochází minimem, a zápornou, pokud tvoří maximum. Pokud závislost sledujeme tak, že při nulové hodnotě x je y těž rovno nule, vystačíme s jednodušším výrazem

y = ax2 + bx

Minimum nebo maximum této funkce se zjišťuje snadno, protože v obou těchto extrémních bodech platí (jako podmínka nutná, podmínka prvního řádu), že první derivace funkce je zde rovna nule: