10) Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Soustava dvou lineárních rovnic o

dvou neznámých

1) Pro x

∊ R; y ∊ R \ {0} je dána soustava rovnic :

= 4

2x – 5y = –3
a) Vypočtěte hodnotu neznámé x. b) Vypočtěte hodnotu neznámé y.
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2012, příklad č. 8
Body: 2 Výsledek: a) x = – 4 b) y = –1

Pracovní tematické zařazení: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
Řešení:

= 4 /* y x = 4y x – 4y = 0 /* (–2) –2x + 8y = 0

2x – 5y = –3

2x – 5y = –3 2x – 5y = –3 2x – 5y = –3

3y = –3 y = –1
x = 4y x = 4*(–1) x = – 4
Řešením soustavy je uspořádaná dvojice čísel [ – 4, –1 ]
Poznámka: Soustavu je možné řešit několika dalšími způsoby, např. dosazovací metodou.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Soustava dvou lineárních rovnic o

dvou neznámých

2) Přiřaďte každé soustavě rovnic ( a) – d) ), kde x Є R, y Є R, množinu všech
řešení ( A – F ) dané soustavy.
a) 2x = 0 b) x – 2y = 4 c) –x + 2y – 1 = 0 d) x = y + 2
2y – 4 = 2( y – 2 ) 2x – y = 2 x – 2y = 0 y = x – 2
A)

Ø B) { [ 2, 0 ] } C) { [ 0, 2 ] } D) { [ 0, –2 ] } E) { [ 0, y ], y Є R }

F) jiná množina
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2014, příklad č. 25
Body: 4
Výsledek: a) E b) D c) A d) F – soustava má nekonečně mnoho řešení, která lze
obecně zapsat buď

{ [ x, x – 2 ], x Є R } nebo { [ y + 2, y ], y Є R }

Pracovní tematické zařazení: Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých
Řešení:
a) 2x = 0 /:2 x = 0 x = 0
2y – 4 = 2( y – 2 ) 2y – 4 = 2y – 4 0 = 0 … pravdivá rovnost – řešením druhé
rovnice je libovolné reálné číslo, tedy y může být libovolné reálné číslo
řešení soustavy:

{ [ 0, y ], y Є R } … x = 0, y může být libovolné reálné číslo

Složená závorka zde označuje množinu obsahující všechny takovéto uspořádané dvojice
čísel. O správnosti se můžeme snadno přesvědčit zkouškou např. pro uspořádanou
dvojici [ 0, 1415 ] – tato dvojice vyhovuje oběma rovnicím zadané soustavy.

b) x – 2y = 4 x – 2y = 4
2x – y = 2 /* (–2) –4x + 2y = – 4 –3x = 0 x = 0

x – 2y = 4 0 – 2y = 4 – 4 = 2y – 2 = y řešení soustavy: [ 0, –2 ]

c) –x + 2y – 1 = 0 –x + 2y = 1
x – 2y = 0 x – 2y = 0 0 = 1 … nepravdivá rovnost – soustava nemá
řešení

d) x = y + 2 x – y = 2
y = x – 2 – x + y = – 2 0 = 0 … pravdivá rovnost – soustava má nekonečně
mnoho řešení. Ale pozor !! – řešením není jakákoli uspořádaná dvojice čísel / což si lze
snadno ověřit zkouškou např. s dvojicí [ 1, 4 ] – zkouška nevyjde /, ale pouze některé
uspořádané dvojice čísel. Tyto dvojice zapíšeme buď pouze pomocí neznámé x
( takže neznámou y vyjádříme pomocí x ), nebo pouze pomocí neznámé y ( takže
neznámou x vyjádříme pomocí y ), čili