Harmonická analýza

Matematická metoda

Pro SS složku :

Pro cos složku :

Pro sin složku :

Integrály jsou uvedeny pro úhlovou oblast, pro časovou oblast se položí α=ω.t.

Při výpočtu užíváme zjednodušení pomocí liché nebo sudé funkce nebo pouze lichých nebo sudých harmonických. Pro další zjednodušení výpočtu musíme vzít v úvahu, že lze počátek ve většině funkcí libovolně měnit ( ale ne všude ). Dalším zjednodušení umožňuje posuv signálu ve svislém směru – SS složka se určí z neposunutého směru a další činitele se určí z posunutí. Posunem je řada hodnot nulová a potřebné součiny není nutno počítat.

U = ±5V

f = 1KHz

T = 1ms

Vzhledem k tomu, že kladná i záporná plocha signálu jsou stejně velké, jedná se o klasický signál s nulovou SS složkou.

Signál splňuje podmínku, že stačí spočítat pouze liché harmonické. Počátek zvolíme tak, abychom počítaly pouze sinusové složky signálu.

Stejným způsobem se vypočítá třetí a zbývající harmonické složky signálu.

atd.

Nakonec vytvoříme amplitudové spektrum do grafu. Zde bude vyneseno na ose y U[V] a na ose x f[Hz].

Př.: Výpočet spektra trojúhelníkového signálu

T = 20.10-3s

U = 20 V

Rovnice přímky :

Řešíme ve dvou intervalech :

Interval

Interval

Střední hodnota :

Funkce je sudá (souměrná podle osy Y), takže se uplatní pouze cos složky, sin složky jsou rovny 0. Dále funkce je periodická v kladné části osy Y : , proto vypadnou všechny liché členy. Bude obsahovat pouze sudé členy.

Cos složky :

1. vypočítáme první integrál :

Celý první člen se složkou sin vypadne ( je nulový ), protože , kde x je jakékoliv celé sudé číslo, je roven 0.

2. vypočítáme druhý integrál :

Celý první a třetí člen se složkou sin vypadne ( je nulový ), protože , kde x je jakékoliv celé sudé číslo, je roven 0.

Kmitočtové spektrum

Výsledek Harmonické analýzy je zapsán většinou formou úplné fourierovy řady. Vzhledem k tomu, že velikost amplitudy A1 až An je příspěvek každé harmonické dostatečně určen, je výstižnější popsat funkci pomocí amplitud. Tato posloupnost se nazývá amplitudové spektrum funkce.

Spektrální čáry, nespojité, čárové (diskrétní)

Amplitudové spektrum se doplňuje spektrem fázovým €ϕn.

Místo Amplitudového spektra se můžou vynášet spektra sin a cos složek.