DYNAMIKA MECHANICKÉHO KMITÁNÍ

DYNAMIKA MECHANICKÉHO KMITÁNÍ

• pohybová rovnice mechanického oscilátoru

  • F = m*a

  • a = -ω2 * y

  • F = -m * ω2 * y (obecná rovnice)

PRUŽINOVÝ OSCILÁTOR

• pružina mění svoji délku působením vnější síly

• z původní délky l0 se může pružina: m….hmotnost (kg)

  • prodloužit na délku l = l0 + Δl Fp….síla pružnosti (N)

zkrátit na délku l = l0 - Δl F….vnější síla

• Δl = prodloužení, resp. zkrácení pružiny

• reakcí k vnější síle je síla pružnosti Fp

  • Fp = k * Δl

  • k… tuhost pružiny, k = Fp / Δl

• při kmitání působí na oscilátor výsledná síla F = Fp + FG

• tíhová síla FG je stálá, výsledná síla F se mění v závislosti na Fp

• v rovnovážné poloze platí Fp = FG

• F = - k * y (pro pružinový oscilátor)

• síla F je přímo úměrná výchylce y a stále směřuje do rovnoměrné polohy

• ω0= (vlastní úhlová frekvence)

• $f\ = \ \frac{1}{2\pi} \times \ $ (frekvence, Hz.)

• T0 = 2π× (perioda, s.)

KYVADLO

= těleso zavěšené nad těžištěm, které se volně otáčí kolem vodorovné osy procházející bodem závěsu kolmo k rovině kmitání

matematické kyvadlo = model kyvadla tvořeného hmotným bodem zavěšeným na vlákně o délce l zanedbatelné hmotnosti pro úhel α ≤ 5∘

• α ≤ 5∘

• l…..délka vlákna (m)

• Ft…..síla tahová (N)

• FG….síla gravitační

• F…..výsledná síla

• ω0 =

• $\omega\ = \ 2\pi f\ = \ \frac{2\pi}{T}$

• T0 = 2π×

• $f_{0}\ = \ \ \frac{1}{2\pi} \times \ $

• využití: měření času

• 1 kyv - kyvadlo vykoná mezi 2 po sobě jdoucímí průchody rovnovážnou polohou 1 kmit = 2 kyvy

  • doba kyvu….$\tau\ = \ \frac{T}{2}$

PŘEMĚNY ENERGIE MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

• při harmonickém kmitání mech. osc. se periodicky mění jeho Ep na Ek a zpět

• rovnovážná poloha

  • vm…max. rychlost

  • EK….max.

  • EP = 0

• maximální výchylka

  • v = 0

  • EK = 0

  • EP….max.

• AžEk: $E_{k} = \ \frac{1}{2}m \times \ v_{m}^{2} = \frac{1}{2}m \times \omega^{2} \times$ ym2

• EP pružnosti: $E_{p} = \ \frac{1}{2}k \times \ y_{m}^{2}$

• pokud na oscilátor nepůsobí vnější síly, je mechanická en. kmit. konstatní a je v každém okamžiku rovna E = EP + EK

TLUMENÉ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

• u reálných oscilátorů dochází vždy ke ztrátám energie vlivem odporových sil a jejich kmitání je vždy tlumené

• využití: tlumiče (auta - pérové, olejové, gumové)

NUCENÉ KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

• pro udržení kmitavého pohybu je třeba na oscilátor působit stálou vnější silou a dodávat mu energii → pak vzniká nucené kmitání

• frekvence kmitů je shodná s frekvencí působící síly

RESONANCE MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

• resonance nastává, jestliže úhlová frekvence ω vnějšího působení odpovídá úhlové frekvenci ω0 vlastního kmitání oscilátoru

  • ω = ω0

• resonanční křivka - vyjadřuje závislost amplitudy ym nuceného kmitání na jeho úhlové frekvenci ω