11 – Goniometrické funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Vlastnosti funkce Kotangens:
• Funkce Kotangens je dána rovnicí 𝑦 =
cos 𝑥
sin 𝑥
neboli převrácená hodnota tangens
• Funkce je periodická (nejmenší perioda je 𝜋), není klesající a je lichá
• Definiční obor: 𝐷 = 𝑅 /{𝑘𝜋} (𝑘 ∈ 𝑍), obor hodnot: 𝐻
cot 𝑥 = 𝑅
• V intervalu (0; 𝜋) a (𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋) je funkce klesající
Grafický způsob hledání hodnot goniometrické funkce:
• Hodnoty pro goniometrické funkce mezi 0 a
𝜋
2
určíme z ostrého úhlu
• Zbylé hodnoty určíme z jednotkové kružnice
• Hodnotu funkce si vyznačíme na jednotkové kružnici
• Pro sinus najdeme zbylé hodnoty tak, že narýsujeme přímku rovnoběžnou s osou x
• Body, kde se přímka protne s jednotkovou kružnicí, jsou hodnoty dané funkce sinus
• Pro kosinus najdeme zbylé hodnoty tak, že narýsujeme přímku rovnoběžnou s osou y
• Body, kde se přímka protne s jednotkovou kružnicí, jsou hodnoty dané funkce kosinus
• Pro tangens a kotangens narýsujeme přímku, která prochází středem jednot. kružnice
• Body, kde se přímka protne s kružnicí, jsou hodnoty dané funkce tangens/kotangens
• U sinu lze druhou hodnotu početně zjistit tak, že zbytek do 90° přičteme k 90°
• U kosinu zjistíme hodnotu jako absolutní hodnotu hodnoty mínus 360°
• U tangens/kotangens přičítáme vždy 180°
Důkaz lichosti funkce:
∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓): 𝑓(−𝑥) =
cos(−𝑥)
sin(−𝑥)
=
cos 𝑥
− sin 𝑥
= −𝑓(𝑥)
Grafy goniometrických funkcí a jejich úpravy:
• 𝑓: 𝑦 = sin (𝑥 −
𝜋
4
) => posunutí na ose x doprava, u přičítání doleva
• 𝑓: 𝑦 = sin(𝑥) + 𝑛 => posun na ose y, kladná čísla „nahoru“ a záporná „dolu“
• 𝑓: 𝑦 = 𝑐 × sin(𝑥) => nastane změna oboru hodnot; čím vyšší číslo, tím vyšší H
• 𝑓: 𝑦 = sin(𝑐𝑥) => změna periody; čím vyšší číslo, tím vyšší perioda
• Je-li 𝑐 záporné, funkce se otočí podle osy souměrnosti (platí pro oba zmíněné případy)
Vzorce:
1.
sin2𝑥 + cos2𝑥 = 1
2.
tan 𝑥 × cot 𝑥 = 1
3.
sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑦 cos 𝑥
4.
sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑦 cos 𝑥
5.
cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦
6.
cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦
7.
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥
8.
cos 2𝑥 = cos2𝑥 − sin2𝑥
9.
sin (
𝜋
2
− 𝑥) = cos 𝑥
10.
cos (
𝜋
2
− 𝑥) = sin 𝑥
11.
sin
𝑥
2
= ±√
1−cos 𝑥
2
12.
cos
𝑥
2
= ±√
1+cos 𝑥
2
13.
sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin
𝑥+𝑦
2
cos
𝑥−𝑦
2
14.
sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin
𝑥−𝑦
2
cos
𝑥+𝑦
2
15.
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos
𝑥+𝑦
2
cos
𝑥−𝑦
2
16.
cos 𝑥 − cos 𝑦 = −2 sin
𝑥+𝑦
2
sin
𝑥−𝑦
2
Příklad – goniometrické rovnice:
Zadání: sin 𝑥 + sin(2𝑥) + sin(3𝑥) = 0