13 – Kombinatorika a pravděpodobnost

𝐾(𝑘,𝑛) = (

𝑛
𝑘

) 1 =

𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

(𝑛 > 𝑘)

2. Kombinace s opakováním

• Kombinace je neuspořádaná k-tice sestavená z daných prvků
• Jedná se o neuspořádaný výběr, kde se mohou prvky opakovat nejvýše k-krát
• 𝑘 je počet možností, n je počet prvků kombinace, 𝑘 a 𝑛 jsou celá čísla

𝐾′(𝑘,𝑛) = (

𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘

) =

(𝑛 + 𝑘 − 1)!

𝑘! (𝑛 − 1)!

1 Čteme jako „n nad k“ (osm nad dvěma, sedm nad čtyřmi,…)

3. Variace bez opakování

• k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice, záleží tedy na pořadí prvků
• U variacích bez opakování se každý prvek vyskytuje právě jednou
• 𝑘 je počet možností, n je počet prvků variace, 𝑘 a 𝑛 jsou celá čísla

𝑉′(𝑘,𝑛) =

𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

(𝑛 ≥ 𝑘)

4. Variace s opakováním

• k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice, záleží tedy na pořadí prvků
• U variacích s opakováním se každý prvek vyskytuje nejvýše k-krát
• 𝑘 je počet možností, n je počet prvků variace, 𝑘 a 𝑛 jsou celá čísla

𝑉′(𝑘,𝑛) = 𝑛

𝑘

5. Permutace bez opakování

• Permutace je speciální případ variace, kde je počet prvků a možností variací stejný
• Počet permutací odpovídá počtu všech možných uspořádání všech prvků zadané

množiny

𝑃𝑛 = 𝑉(𝑛,𝑛) =

𝑛!

(𝑛 − 𝑛)!

= 𝑛!

6. Permutace s opakováním

• Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků

tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou.

• Každý prvek permutace s opakováním se v ní vyskytuje aspoň jednou
• Je definován jako faktoriál součtu všech prvků dělený součinem faktoriálů

jednotlivých množin prvků

𝑃′(𝑘

1,𝑘2,…,𝑘𝑛) =

(𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑛)!

𝑘1! × 𝑘2! × … × 𝑘𝑛!

Postup řešení kombinatorických příkladů:

1. Pozorně si přečteme zadání
2. Určíme si počet prvků a co jsou prvky, stejně tak jako počet možných kombinací
3. Určíme si, kterou kombinatorickou skupinu využijeme k výpočtu
4. Vypočteme příklad

Příklady – kombinatorické skupiny:

Zadání 1: Kolik různých čtyřmístných telefonních pinů lze vybrat?

Řešení 1:
Nejprve si určíme, že pracujeme s 10 prvky (číslice 0 až 9), které se mohou opakovat. Jelikož
se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí, zjistíme, že se jedná o variaci s opakováním.
Následně dosadíme do vzorce a zjistíme, že existuje 104 (10 000) možných řešení.

Zadání 2: Kolika způsoby lze rozsadit 25 studentů ze 4.E ve třídě Fy1, kde je 32 míst?

Řešení 2:
Určíme si dvě množiny prvků, studenty a volná místa. Jelikož nezáleží na tom, kam kterého
studenta posadíme, zjistíme, že se jedná o permutaci s opakováním. Tím pádem bude
výsledkem příkladu: 𝑃′(7,25) =

32!

7!25!