13 – Kombinatorika a pravděpodobnost

= 3 365 856.

Zadání 3: Vypočtěte, kolika způsoby mohu v obchodě nakoupit pivo na celý týden (10 piv),

jestliže prodávají 5 druhů piv v dostatečném množství.

Řešení 3:
Příklad se počítá jako kombinace s opakováním, jelikož nezáleží na pořadí, a nejen je možné,
ale je nutné, aby se prvky opakovaly. Výsledek příkladu:

𝐾(10,14) =

14!

10! 4!

= 1001

Binomická věta:

• Binomická věta je matematická věta vycházející z kombinatoriky
• Díky ní můžeme pomocí n-té mocniny rozložit mocninu dvou sčítanců na součet n+1

sčítanců

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ (

𝑛
𝑘

) 𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘

𝑛

𝑘=0

• Pascalův trojúhelník je uspořádání binomických koeficientů do tvaru trojúhelníku
• Je-li závorka umocňována na jiné, než přirozené číslo platí pro ni vztah:

(1 + 𝑧)𝑤 = (

𝑤

0

) 𝑧0 + (

𝑤

1

) 𝑧1 + (

𝑤

2

) 𝑧2 + ⋯

Příklad – binomická věta:

Zadání: Určete 5. člen binomického rozvoje (

1

√𝑧

− 2𝑧)

𝑛

Řešení: (

1

√2

− 2𝑧)

𝑛

=> (

𝑛
4

) (

1

√𝑧

)

𝑛−4

(−2𝑧)4 => (

𝑛
4

) 𝑥

−

1
2

(𝑛−4)𝑥4 => 𝑥0

−

1
2

(𝑛 − 4) + 4 = 0

−

𝑛
2

+ 2 + 4 = 0

𝑛 = 12

Pravděpodobnost:

• Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti určitého

výsledku náhodného pokusu

• Nejčastěji se pravděpodobnost vypočítává jako podíl příznivých možností jevu a všech

možností, které mohou nastat

• Jevy jsou podmnožiny množin možných výsledků
• Jev, jehož pravděpodobnost je 1 (100 %), nazýváme jistý
• Jev, který má pravděpodobnost 0 (0 %), nazýváme nemožný

𝑃(𝑗) =

𝛾

𝑀

Pravděpodobnost jevů – opačný jev

• Jevy opačný k jevu a je doplněk množiny a v množině M, což je množina všech

možných výsledků

• Nastane vždy právě jeden z jevů a či a‘

𝑃(𝑎′) = 1 − 𝑃𝑎

Nezávislé jevy

• Jevy jsou nezávislé, pokud platí, že 𝑃

(𝑎∩𝑏) = 𝑃𝑎 × 𝑃𝑏

• Pravděpodobnost jevu A nezávisí na výskytu jevu B
• Rovnost musí platit nejen pro průnik všech jevů, ale také pro jejich podskupiny

Bernoulliovo schéma – binomické rozdělení

𝑃(𝑎

𝑘) = (

𝑛
𝑘

) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘; 𝑘 = 0,1,2,3, … 𝑛; 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

• Používá se k výpočtu pravděpodobnosti při opakovaném pokusu
• Využívá binomické věty

Příklad – Bernoulliovo schéma:

Zadání: Jaká je pravděpodobnost, že fotbalista Sparty promění 3 ze sedmi kopů, když
pravděpodobnost úspěchu je u něj 29 %.

Řešení: Budeme pracovat s procentuální úspěšností a neúspěšností.

𝑃𝑎 = (

7
3

) × 0,293 × 0,714 = 0,216

Příklad – pravděpodobnost:

Zadání: V hazardní číselné hře se losuje 6 čísel ze 49 čísel. Jaká je pravděpodobnost, že hráč

bude na 4. pořadí (uhodne 3 čísla ze 6) a 2. pořadí (5 čísel ze 6)?