21 – Parabola

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Parabola

Definice

:

• Parabola je druh kulosečky, která je osově souměrná
• Parabola je vrcholová kuželosečka, její křivka je grafem kvadratické funkce
• Parabola je množina všech bodů v rovině, jejichž vzdálenost od daného bodu

(ohniska) a dané přímky (řídící přímky) je vždy stejná (|𝑥1; 𝐹| = |𝑥1; 𝐷|)

• Parametr paraboly p udává vzdálenost řídící přímky a ohniska
• Řídící přímka má stejnou vzdálenost od vrcholu jako ohnisko (|𝑑𝑉| = |𝑉𝐹| =

𝑝

2

)

Paraboly a jejich vzorce podle jejich umístění v kartézské soustavě:

Obecná rovnice paraboly:

𝑥2 + 2𝑟𝑥 + 2𝑠𝑦 + 𝑡 = 0

• Obecná rovnice parabol, jejichž řídící přímka je rovnoběžná s osou x
• 𝑟 ≠ 0; 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅

𝑦2 + 2𝑟𝑥 + 2𝑠𝑦 + 𝑡 = 0

• Obecná rovnice parabol, jejichž řídící přímka je rovnoběžná s osou y
• 𝑟 ≠ 0; 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅

𝑝1: 𝑦

2 = 2𝑝𝑥

𝑑1: 𝑥 = −

𝑝
2

𝑝2: 𝑦

2 = −2𝑝𝑥

𝑑2: 𝑥 = +

𝑝
2

𝑝3: 𝑥

2 = 2𝑝𝑦

𝑑3: 𝑦 = −

𝑝
2

𝑝4: 𝑥

2 = −2𝑝𝑦

𝑑4: 𝑦 = +

𝑝
2

𝐹 = Ohnisko
𝑉 = Vrchol
𝑋 = Libovolný bod paraboly
𝑝 = Parametr paraboly
𝑑 = Řídící přímka paraboly

Vrcholová rovnice paraboly

(𝑥 − 𝑚)2 = 2𝑝(𝑦 − 𝑛) 𝐹 = [𝑚, 𝑛 +

𝑝
2

]

• Vrcholová rovnice parabol omezených zdola a s osou rovnoběžnou s osou 𝑦
• 𝑥 a 𝑦 jsou souřadnice všech bodů paraboly a 𝑚, 𝑛 jsou souřadnice vrcholu 𝑉[𝑚,𝑛]

(𝑥 − 𝑚)2 = −2𝑝(𝑦 − 𝑛) 𝐹 = [𝑚, 𝑛 −

𝑝
2

]

• Vrcholová rovnice parabol omezených shora a s osou rovnoběžnou s osou 𝑦
• 𝑥 a 𝑦 jsou souřadnice všech bodů paraboly a 𝑚, 𝑛 jsou souřadnice vrcholu 𝑉[𝑚,𝑛]

(𝑦 − 𝑛)2 = 2𝑝(𝑥 − 𝑚) 𝐹 = [𝑚 +

𝑝
2

, 𝑛]

• Vrcholová rovnice parabol omezených „zleva“ a s osou rovnoběžnou s osou 𝑥
• 𝑥 a 𝑦 jsou souřadnice všech bodů paraboly a 𝑚, 𝑛 jsou souřadnice vrcholu 𝑉[𝑚,𝑛]

(𝑦 − 𝑛)2 = −2𝑝(𝑥 − 𝑚) 𝐹 = [𝑚 −

𝑝
2

, 𝑛]

• Vrcholová rovnice parabol omezených „zprava“ a s osou rovnoběžnou s osou 𝑥
• 𝑥 a 𝑦 jsou souřadnice všech bodů paraboly a 𝑚, 𝑛 jsou souřadnice vrcholu 𝑉[𝑚,𝑛]

Parabola a přímka:

• Při určování vzájemné polohy paraboly a přímky řešíme soustavu KVAdratické a

lineární soustavy, která může mít 3 řešení:

1. Žádné řešení (přímka je vnější, s parabolou nemá žádný společný bod)
2. Jedno řešení (přímka je tečnou nebo přímkou rovnoběžnou s osou paraboly)
3. Dvě řešení (přímka je sečna)

! Je-li přímka rovnoběžná s osou paraboly a protíná přímku, tečnou ji nenazýváme !

Tečna paraboly:

• Obecně je rovnice tečny v bodě dotyku 𝑇[𝑥

0; 𝑦0] definována jako 𝑥0𝑥 = 𝑝𝑦 + 𝑝𝑦0