24 – Diferenciální počet

pak platí: 𝑓′(𝑥0) = 0. Věta obrácená k dané větě NEPLATÍ.

Stacionární body:

• Má-li funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) v bodě 𝑥

0 derivaci, jejíž hodnota je 0, pak bod 𝑥0 nazýváme

nulovým bodem 1. derivace nebo také stacionárním bodem funkce f.

• V těchto bodech může, ale nemusí být extrém
• Nechť 𝑓′(𝑥

0) = 0. Jestliže existuje takové okolí U(𝑥0, 𝛿), že v intervalech

(𝑥0 − 𝛿, 𝑥0) a (𝑥0, 𝑥0 + 𝛿) má 𝑓

′(𝑥) různá znaménka, má funkce f v bodě 𝑥0 ostrý

lokální extrém.

Příklad – lokální extrémy funkce:

Zadání: Najděte lokální extrémy funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 2

Řešení: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 2

𝑓′(𝑥) = 0 → 2𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 1
𝑥 < 1 → 𝑓′(𝑥) < 0 ∩ 𝑥 > 1 → 𝑓′(𝑥) > 0

Z toho vyplývá, že daná funkce má v bodě

𝑥 = 1 ostré lokální

minimum.

Extrémy funkce a 2. derivace:

• Pro zjednodušení hledání lokálního extrému lze zavést 2. derivaci funkce
• Tu najdeme tak, že zderivujeme 1. derivaci funkce
• Nechť 𝑓′(𝑥

0) = 0 a nechť existuje v bodě 𝑥0 druhá derivace. Je-li 𝑓

′′(𝑥0) < 0, má

funkce f v bodě

𝑥0 ostré lokální maximum, je-li 𝑓

′′(𝑥0) > 0, má funkce f v bodě 𝑥0

ostré lokální minimum.

• Je-li 𝑓′′(𝑥

0) = 0, nelze o existenci lokálního extrému rozhodnout, je nutné využít

znaménkové změny 1. derivace

Historické poznámky:

• Základní úvahy týkající se diferenciálního a integrálního počtu se objevují počátkem

17. století

• Mezi autory těchto úvah se řadily René Descartes, Pierre de Fermat či Isaac Barrow
• Infinitezimálnímu počtu se věnoval i Johann Kepler
• Největším přínosem přispěli v 2. polovině 17. století ke studiu diferenciálního a

integrálního počtu Isaac Newton a Gottfried Leibniz

• Newton se problematice věnoval především z přírodovědeckého hlediska a své úvahy

o matematické analýze publikoval v letech 1665–1666

• V této době probíhala morová epidemie, před kterou se ukryl na venkov
• Ve své práci objevil základní vztahy mezi derivací a integrálem
• Leibniz ke svým výsledkům dospěl v letech 1673–1676
• Ten zavedl dodnes používanou symboliku, kterou uvedl ve své práci z roku 1684
• První výklad integrálního počtu zveřejnil v roce 1686
• O pozdější rozvoj matematické analýzy se zasloužili především matematici Leonhard

Euler, bratři Jacob a Johann Bernoulliovi a Augustin L. Cauchy, autor limity funkce

• Z českého prostředí se matematické analýze věnovali především Bernard Bolzano,

který roku 1830 objevil spojitou funkci v intervalu bez derivace

• Dalšími českými matematiky byli především profesoři na předních českých

univerzitách, např. Jan Tesánek, Stanislav Vydra či František J. Studnička