24 – Diferenciální počet

Zdobínský Vojtěch, 4.E

Diferenciální počet

Základní informace:

• Jedná se o součást matematické analýzy
• Stručněji bývají označovány jako počty infinitezimální (z latin. nekonečně malý)
• Setkáme se s nimi v inženýrství, molekulární chemii, jaderné fyzice,…
• Průkopníky ve studiu infinitezimálních počtů byli Isaac Newton a Gottfried Leibniz
• V angličtině se infinitezimální počty označují jako Kalkulus

Nutné k zopakování:

• Diferenciální (a integrální) počet je součástí disciplíny zvané matematická analýza
• Ta se zabývá funkcemi, limitami, nekonečnými řadami, derivací a integrály
• Pro úplné pochopení diferenciálních a integrálních počtů je nutné si zopakovat funkce

a limitu posloupnosti, respektive se naučit limity funkce

• Projděte si prosím tyto témata v předešlých otázkách

Definice derivace:

• Derivace funkce je změna hodnoty funkce
• Je to poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné 𝑦 odpovídá změně funkce

závislé proměnné 𝑥

• Derivace se počítá stejným vzorcem, který využíváme při počítání rovnice tečny grafu

𝑓′(𝑥0) = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

= lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

= lim

𝑥→𝑥0

∆𝑦
∆𝑥

• Existuje-li takováto limita, nazýváme ji derivací funkce f v bodě 𝑥

0

• Derivaci značíme apostrofem, konkrétněji potom symbolem 𝑓′(𝑥) či 𝑦′
• Pomocí derivace lze odvodit rovnici tečny grafu funkce:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓

′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

• Funkce f má derivaci v intervalu (𝑎, 𝑏), má-li derivaci v každém bodě tohoto intervalu

Derivace funkce f v bodě

𝒙𝟎 zprava a zleva:

lim

∆𝑥→0−

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

lim

∆𝑥→0+

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

Vlastnosti a funkce derivace:

• Hlavní funkcí derivace v bodě je to, že nám udává, jak se křivka mění (roste, klesá,…)
• Derivace je jistá forma limity a s limitou sdílí některé vlastnosti
• Z toho plyne, že má-li funkce f v bodě 𝑥

0 derivaci, je v tomto bodě spojitá

• NEPLATÍ však, že je-li funkce spojitá v bodě 𝑥

0, má v tomto bodě derivaci

• Funkce má derivaci tehdy, má-li v bodě 𝑥

0 derivaci zleva i zprava (a ty se rovnají)

• Derivací funkce v bodě získáme směrnici tečny v daném bodě a díky ní lze zjistit jaké

vlastnosti má křivka/graf funkce (kladné = rostoucí, záporné = klesající)

• Rozlišujeme vlastní derivace (𝑦′ ∈ 𝑅) a nevlastní derivace (𝑦′ = ±∞)

Příklad – derivace funkce v bodě:

Zadání: Vypočtěte derivaci funkce 𝑓: 𝑦 = 𝑥3 − 1 v bodě 𝑥0

Řešení:

𝑓′(𝑥0) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

=

𝑥3 − 1 − 𝑥0

3 + 1

𝑥 − 𝑥0

=

(𝑥 − 𝑥0)(𝑥

2 + 𝑥𝑥0 + 𝑥02)