24 – Diferenciální počet

𝑥 − 𝑥0

= 3𝑥0

2

Vzorce:

1. (

𝑥𝑛)′ = 𝑛 × 𝑥𝑛−1

2. (

sin 𝑥)′ = cos 𝑥

3. (

cos 𝑥)′ = − sin 𝑥

4. (

tan 𝑥)′ =

1

cos2𝑥

5. (

cot 𝑥)′ = −

1

sin2𝑥

6. (

𝑐)′ = 0 𝑐 ∈ 𝑅

7. (

ln 𝑥)′ =

1

𝑥

8. (

𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 × ln 𝑥 𝑎 ∈ 𝑅+ / {1}

9. (

𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥 𝑥 ∈ 𝑅

10. (

log𝑎 𝑥)

′ =

1

𝑥×ln 𝑥

𝑥 ∈ 𝑅+ 𝑎 ∈ 𝑅+ / {1}

11. (

𝑢 + 𝑣)′(𝑥0) = 𝑢

′(𝑥0) + 𝑣′(𝑥0)

12. (

𝑢 − 𝑣)′(𝑥0) = 𝑢

′(𝑥0) − 𝑣′(𝑥0)

13. (

𝑢𝑣)′(𝑥0) = 𝑢

′(𝑥0)𝑣(𝑥0) + 𝑣′(𝑥0)𝑢(𝑥0)

14. (

𝑢

𝑣

)

′

(𝑥0) =

𝑢′(𝑥0)𝑣(𝑥0)−𝑣′(𝑥0)𝑢(𝑥0)

𝑣2(𝑥0)

𝑣(𝑥0) ≠ 0

Derivace složené funkce:

• Jestliže funkce 𝑧 = 𝑔(𝑥) má derivaci v bodě 𝑥

0 a jestliže funkce 𝑦 = 𝑓(𝑧) má derivaci

v bodě

𝑧0 = 𝑔(𝑥0), má složená funkce 𝑦 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) derivaci v bodě 𝑥0

a platí:

(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥0)) × 𝑔′(𝑥0)

• Symbolicky lze pro derivaci složené funkce 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) psát:

𝑑𝑦
𝑑𝑥

=

𝑑𝑦

𝑑𝑧

×

𝑑𝑧

𝑑𝑥

Příklad – derivace složené funkce:

Zadání: Vypočtěte derivace funkce 𝑦 = (𝑥5 + 2𝑥 + 1)7 v libovolném bodě.

Řešení: 𝑦 = 𝑧7 𝑧 = (𝑥5 + 2𝑥 + 1)

𝑦′ =

𝑑𝑦
𝑑𝑥

=

𝑑(𝑧7)

𝑑𝑧

×

𝑑(𝑥5 + 2𝑥 + 1)

𝑑𝑥

= 7𝑧6 × (5𝑥4 + 2) = 7(𝑥5 + 2𝑥 + 1)6 × (5𝑥4 + 2)

Derivace této složené funkce je rovna 𝑦′ = 7(𝑥5 + 2𝑥 + 1)6 × (5𝑥4 + 2)

Monotónnost a průběh funkcí:

• Platí-li 𝑓′(𝑥) = 0 pro každý bod, v němž je funkce definována, funkce je konstantní
• Má-li funkce f v každém bodě intervalu (𝑎, 𝑏) kladnou derivaci, je v tom to intervalu

rostoucí, naopak má-li funkce f v každém bodě intervalu (𝑎, 𝑏) zápornou derivaci, je
tato funkce v tomto intervalu klesající

• Intervaly, ve kterých je funkce klesající nebo rostoucí, jsou intervaly monotónnosti

Extrémy funkce a 1. derivace:

• Extrémy jsou souhrnné označení pro maxima a minima funkce
• Tím se rozumí největší či nejmenší hodnota funkce na množině
• Existuje-li extrém v okolí daného libovolného bodu, nazýváme ho lokálním extrémem
• Funkce f má v bodě 𝑥

0 lokální maximum, existuje-li takové okolí U(𝑥0) bodu 𝑥0, že

pro všechna x z U(𝑥0) ∩ 𝐷𝑓 platí: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0). Funkce f má v bodě 𝑥0 lokální
minimum, existuje.li takové okolí

U(𝑥0) bodu 𝑥0, že pro všechna x z U(𝑥0) ∩ 𝐷𝑓 platí:

𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0).

• Platí-li v uvedených nerovnostech rovnost jen pro 𝑥 = 𝑥

0, pak říkáme, že funkce f má

v bodě

𝑥0 ostré lokální extrémy

• Má-li funkce f v bodě 𝑥

0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace 𝑓′(𝑥0),