Prealgebra_me_zapisky

= mnoˇ

ziny matematick´

ych objekt˚

u, na nichˇ

z jsou definov´

any operace nebo relace

– bin´

arn´ı operace

= zobrazen´ı podmnoˇ

zin A × B → C

= zvl´

aˇstn´ı pˇr´ıpad relace

– neboli C = f (A, B)

– pˇr.: a + b, a · b, a ∪ b, a ∧ b, ...

– vlatstnosti:

I. uzavˇrenost: ∀a, b ∈ A × A∃c ∈ A : c = ab

II. asociativita: ∀a, b, c ∈ A : (ab)c = a(bc)

III. komutativita: ∀a, b ∈ A : ab = ba

IV. neutr´

aln´ı prvek: ∃n ∈ A∀a ∈ A : na = an = a

V. inverzn´ı prvky ∀a ∈ A∃a−1 ∈ A : a−1a = aa−1 = n

Pokud jsou definovan´

e dvˇ

e operace, pak plat´ı distributivita:

VI. a) ∀a, b, c ∈ A : a⊙(b ⊕ c) = (a⊙b) ⊕ (a⊙c)

b) ∀a, b, c ∈ A : a ⊕ (b⊙c) = (a ⊕ b)⊙(a ⊕ c)

5

6.1

Typy algebraick´

ych struktur

N´

azev

Znaˇ

cen´ı

Splˇ

nuje

Grupa

(A, ◦)

I, II, IV, V

Tˇ

eleso

(A, ⊕, ⊙)

(A, ⊕) mus´ı b´

yt Abelova grupa

(A \ {n}, ⊙) mus´ı b´

yt Abelova grupa

⊕ a ⊙ jsou sv´

az´

any distributivn´ımi z´

akony

Okruh

(A, ⊕, ⊙)

(A, ⊕) mus´ı b´

yt Abelova grupa

(A, ⊙) mus´ı b´

yt pologrupa → plat´ı I a II; nemus´ı platit IV ani V

plat´ı VI: distributivita typu a)

Obor integrity (OI) je nˇ

eco mezi tˇ

elesem a okruhem.

6.2

Pˇ

r´ıklady

1. (N, +, ·) . . . nen´ı tˇeleso ani okruh, protoˇze (N, +) nen´ı gupra – nem´a inverzn´ı prvky.

Je to polookruh.

2. (Z, +, ·) . . . (Z, +) je Abelova grupa, (Z, ·) je pologrupa (nem´a inverzy).

Jedn´

a se o okruh.

3. (Q, +, ·) . . . (Q, +) i (Q, ·) jsou Ableovy grupy.

Jedn´

a se o tˇ

eleso.

7

Z´

akladn´ı poznatky o N, Q a R

6

19.11.2019

8

Absolutn´ı hodnota

Definice. Necht’ a ∈ R. Absolutn´ı hodnota

|a|

def

=

(

a,

jestliˇ

ze a ≥ 0,

−a,

jinak.

ˆ Vzd´alenost obrazu a na ˇc´ıseln´e ose od nuly.

ˆ = a · sgn(a)

ˆ = max{a, −a}

Pro a, b ∈ R plat´ı n´asleduj´ıc´ı:

ˆ |a| = | − a|

ˆ |a| ≥ 0

ˆ |a| ≥ a, |a| ≥ −a

ˆ |ab| = |a| · |b|

ˆ Troj´uhlen´ıkov´a nerovnost (zn. △̸=) : |a + b| ≤ |a| + |b|; |a − b| ≥ ||a| − |b||

D˚

ukaz.

7