Prealgebra_me_zapisky

Pre-algebra

Zimn´ı semestr 2019/2020

Prof. Jarmila Novotn´

a

8.10.2019

1

V´

yroky

ˆ Pozn.: Nula je zde pˇrirozen´a.

ˆ V´yrok = smyslupln´e tvrzen´ı, u kter´eho lze jednoznaˇcnˇe rozhodnout, zda je pravdiv´e ˇci

nikoli.

ˆ V´yrokov´a forma =

”

Pokud tvrzen´ı obsahuje jednu nebo v´ıce promˇ

enn´

ych (napˇr. x < 5),

nen´ı to v´

yrok, ale v´

yrokov´

a forma, v´

yrokov´

a funkce nebo predik´

at. V´

yrokem se stane

dosazen´ım hodnot vˇsem promˇ

enn´

ym.“

ˆ Obor pravdivosti = mnoˇzina sdˇelen´ı, pro kterou je v´yrok pravdiv´y. Tato mnoˇzina tvoˇr´ı

podmnoˇ

zinu definiˇ

cn´ıho oboru.

ˆ Napˇr. V1 ⇒ V2 . . . V1 je pˇredpoklad, V2 je tvrzen´ı

ˆ Negace tautologie je kontradikce.

1.1

Typy d˚

ukaz˚

u

1. Pˇr´ım´

y + indukce

2. Nepˇr´ım´

y (= obmˇ

ena): ¬V2 ⇒ ¬V1

3. Sporem: ¬(V1 ⇒ V2) ⇔ (V1 ∧ ¬V2)

Pˇ

r´ıklad. 3 ∤ x ⇒ 3 | (x

2 − 1)

D˚

ukaz. (obmˇ

enou) 3 ∤ (x

2 − 1) ⇒ 3 | x

Rozep´ıˇseme levou stranu (LHS):

3 ∤ (x − 1)(x + 1) ⇒ 3 ∤ (x − 1) ∧ 3 ∤ (x + 1) ⇒ 3 | x

1.2

Dalˇ

s´ı pojmy

ˆ idempotence

V1 ∧ V1 ⇔ V1,

V1 ∨ V1 ⇔ V1.

ˆ distributivita

V1 ∧ (V2 ∨ V3) ⇔ (V1 ∧ V2) ∨ (V1 ∧ V3),

V1 ∨ (V2 ∧ V3) ⇔ (V1 ∨ V2) ∧ (V1 ∨ V3),

1

ˆ ¬¬V1 ⇔ V1

ˆ DeMorganovy z´akony: ¬(V1 ∧ V2) = ¬V1 ∨ ¬V2

15.10.2019

2

Mnoˇ

ziny

ˆ Mnoˇzina = soubor prvk˚u, u kter´eho lze rozhodnout, zda tam dan´y prvek paˇr´ı ˇci nikoli

ˆ Lze zadat v´yˇctem prvk˚u (M = {1, 2, 3, 4}), nebo ud´an´ım vlastnosti (M = {x; V (x)})

ˆ Podmnoˇzina (P ⊂ M) ∀x ∈ P :

x ∈ M ⇔ (x ∈ P ⇒ x ∈ M )

ˆ Terminologie: P ⊊ M . . . vlastn´ı podmnoˇzina

ˆ Mnoˇzinov´e operace:

1. Rozd´ıl (neboli doplnˇ

ek) – nen´ı komutat´ıvn´ı: M ∖ P = {x; x ∈ M ∧ x /

∈ P }

2. Sjednocen´ı a pr˚

unik – jsou komutat´ıvn´ı: (. . . )

ˆ DeMoraganova pravidla: X \(A∪B) = (X \A)∩(X \B); X \(A∩B) = (X \A)∪(X \B)

ˆ Pozn.: Vennovy diagramy nejsou vhodnou d˚ukazovou technikou

2.1

Kart´

ezsk´

y souˇ

cin

→ M × P = {[x, y], x ∈ M ∧ y ∈ P }
= mnoˇ

zina vˇsech dvojic x, y takov´

ych, ˇ

ze x ∈ M a y ∈ P

2.2

Rozklad mnoˇ

ziny M

= disjunktn´ı pokryt´ı
= soubor podmnoˇ

zin A = {Ai, i ∈ I} mnoˇziny M takov´

y, ˇ

ze plat´ı:

1.

S

i∈I Ai = M

2. ∀i ̸= j ∈ I : ai ∩ aj = ∅

ˆ Koneˇcn´y/nekoneˇcn´y poˇcet tˇr´ıd

ˆ Koneˇcn´y/nekoneˇcn´y poˇcet prvk˚u

2

3

Relace mezi A a B

= podmnoˇ

zina Kart´

ezsk´

eho souˇ

cinu A a B

ˆ R ⊂ A × B ⇔ [x, y] ∈ R

ˆ A = B . . . relace na mnoˇzinˇe

ˆ Relace rovnosti/jednotkov´a relace . . . znaˇc´ıme E; E = [x, x] ∀x ∈ A2

ˆ Pr´azdn´a relace = (. . . )

ˆ ´Upln´a relace = kaˇzd´e dva prvky jsou porovnateln´e, tedy bud’ plat´ı xRy nebo yRx

ˆ Pln´a relace = cel´y kart´ezsk´y souˇcin

Zn´

azornˇ

en´ı:

1. Uzlov´

y graf: podm´ınky: A = B, A je koneˇ

cn´

a; smyˇ

cky + ˇsipky

2. Maticov´

y z´

apis: tak´