Prealgebra_me_zapisky

e mus´ı m´ıt koneˇ

cn´

y poˇ

cet prvk˚

u

3. Kart´

ezsk´

y graf: m˚

uˇ

ze m´ıt nekoneˇ

cnˇ

e mnoho prvk˚

u

Obr´

azek 1: Uk´

azka uzlov´

eho grafu

Obr´

azek 2: Uk´

azka kart´

ezsk´

eho grafu

ˆ Reflexivitu, symetrii a dalˇs´ı vlastnosti definujeme v relaci na mnoˇzinˇe.

ˆ ˇRˇz relace R je trichotomick´a, pokud plat´ı:

∀x, y ∈ A

nastane pr´

avˇ

e jeden z pˇr´ıpad˚

u

xRy

x = y

yRx

22.10.2019

3.1

Typy relac´ı

ˆ Ekvivalence: reflex´ıvn´ı, symetrick´a, tranzit´ıvn´ı

ˆ Ostr´e uspoˇr´ad´an´ı: tranzit´ıvn´ı, ireflex´ıvn´ı (a asymetrick´a a antisymetrick´a)

|

{z

}

trichotomick´

a

ˆ Neostr´e uspoˇr´ad´an´ı: reflex´ıvn´ı, antisymetrick´a, tranzit´ıvn´ı

Pozn.: Ekvivalenci lze ch´

apat jako relaci nebo jako operaci.

Jak pozn´

am tranzitivitu na Kart´

ezsk´

em grafu? – Vznikne troj´

uheln´ık rovnobˇ

eˇ

zn´

y s osami, kter´

y

m´

a jeden vrchol na ose I. a III. kvadrantu.

3

3.2

Rozklad mnoˇ

ziny M na tˇ

r´ıdy ekvivalence

ˆ Relace ekvivalence urˇcuje jednoznaˇcnˇe rozklad (faktormnoˇzinu) mnoˇziny na tˇr´ıdy ekviva-

lence.

ˆ R je ekvivalence na M: x ∈ M . . . Tx = {y ∈ M : xRy}
ˆ {Tx; x ∈ M} je rozklad mnoˇziny M podle R
ˆ Rozklad je disjunktn´ı pokryt´ı (viz v´yˇse), tedy plat´ı:

1.

S

x∈M Tx = M

2. Tˇr´ıdy Tx jsou disjunktn´ı

4

Zobrazen´ı

= speci´

aln´ı pˇr´ıpad bin´

arn´ı relace, u kter´

e m´

a kaˇ

zd´

y vzor nejv´

yˇse jeden obraz

ˆ F ⊂ A × B :

1. ∀x ∈ A∃y ∈ B : [x, y] ∈ F (xF y); y = F (x) . . . z t´

eto podm´ınky plyne ˇ

ze D(f ) = A

2. (xF y1 ∧ xF y2) ⇒ (y1 = y2)

tyto dvˇ

e podm´ınky se daj´ı pˇrepsat do jedn´

e: ∀x ∈ A∃!y ∈ B

ˆ Prvek x naz´yv´ame vzor, prvek y naz´yv´ame obraz.
ˆ H(f) = {b ∈ B; ∃x ∈ A : f(x) = b}

4.1

Typy zobrazen´ı

ˆ Injektivn´ı/prost´e
ˆ Surjektivn´ı/na
ˆ Bijektivn´ı/vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e

– Mnoˇ

zina je spoˇ

cetn´

a ⇔ ∃ bijekce na N.

ˆ Sloˇzen´e zobrazen´ı: sloˇzen´ı dvou prost´ych je prost´e zobrazen´ı, sloˇzen´ı dvou surjektivn´ıch

je surjektivn´ı zobrazen´ı

4

5.11.2019

5

Bin´

arn´ı operace

ˆ Napˇr. sˇc´ıt´an´ı pˇrirozen´ych ˇc´ısel (N × N → N)

ˆ Druhy:

– Vnitˇrn´ı operace na mnoˇ

zinˇ

e A: A = B = C; ◦ : A × A → A

– Vnˇ

ejˇs´ı operace na B s oper´

atory z A: A ̸= B, B = C; ◦ : A × B → B

ˆ Mˇejme F : A → B, F −1 : B → A

Existuj´ı r˚

uzn´

e identity: F ◦ F −1 = I je identita na B, ale F −1 ◦ F = I je identita na A

5.1

Vlastnosti bin´

arn´ıch operac´ı

1. Komutativita

2. Asociativita

3. Existence neutr´

aln´ıho prvku (kter´

y je inverzn´ı s´

am sobˇ

e)

4. Existence inverzn´ıch prvk˚

u

Grupa je algebraick´

a struktura s jednou bin´

arn´ı operac´ı, pro kterou plat´ı vlastnosti 2. – 4.

Kdyˇ

z plat´ı i 1. vlastnost, jedn´

a se o Abelovskou grupu.

(z´

astup: Hana Reslov´

a) 12.11.2019

6

Algebraick´

e struktury