přednáška 01

Pro první derivaci platí:

. (6)

Extrém této funkce nastává při , tj.

, (7)

(7) je splněno pro x = m. Hustota pravděpodobnosti nabývá v tomto případě hodnoty

(8)

Z druhé derivace určíme, zda se jedná o maximum či minimum, určíme (pokud existuje) i polohu inflexního bodu.

(9)

Pro x = m je druhá derivace záporná a tedy extrémem je maximum. Upravíme-li (9), obdržíme

(10)

Pro inflexní bod (popř. body) je f // (x) = 0 . To je splněno, pokud v (10)

, (11)

tj. pro x – m = σ.

Z uvedeného je zřejmé, že

• m je konvenčně správná hodnoty měřené veličiny (Xm)

• x je změřená hodnota (X)

• x – m je absolutní chyba měření (Δ)

Parametr σ představuje i v případě spojitého rozložení pravděpodobnosti chyb kvadratický průměr, tedy střední kvadratickou chybu Gaussova normálního rozložení, která je definována vztahem

[m-σ] a [m+σ] jsou v grafu f(x) horizontální souřadnice inflexních bodů, pro jejichž vertikální souřadnici pak platí

. (12)

Z postupu vyplývá i to, co bylo uvedeno již výše – konvenčně správná hodnota měřené veličiny je ta, která má největší pravděpodobnost, že bude změřena.

Grafický průběh f(x) s vyznačením významu použitých symbolů:

obr. 2

Obdobně jako pro relativní četnosti v histogramu platí

(13)

tak i pro Gaussovu křivku lze odvodit, že

. (14)

Dále platí:

, (15)

což říká, že s pravděpodobností 65 % při měření nevznikne absolutní chyba větší než ±σ.

Při zdvojnásobení integračních mezí

, (16)

což lze interpretovat tak, že je pravděpodobnost 95 %, že při měření nevznikne absolutní chyba větší než ±2σ.

Při rozšíření integračních mezí na trojnásobek platí

. (17)

Tento výsledek říká, že s pravděpodobností 99,7 % nebude absolutní chyba při měření větší než ±3σ. Tato pravděpodobnost je již velmi blízká tzv. jistému jevu (jeho pravděpodobnost, že nastane, je rovna 1). Proto tuto hodnotu ±3σ nazýváme tzv. mezní chybou.

Snadno se lze přesvědčit, že strmost Gaussovy křivky roste se zmenšováním hodnoty σ. Opačně s růstem σ je tvar křivky plošší. S tím souvisí i velikost mezní chyby.

Mezní chyba je důležitý parametr, protože podle jeho hodnoty se analogové měřicí přístroje zařazují do tzv. tříd přesnosti (TP). Každá třída přesnosti je charakterizována maximální možnou relativní chybou (vztaženou k rozsahu přístroje), která pří zachování podmínek stanovených výrobcem při měření nebude překročena. Analogové měřicí přístroje se vyráběli

(vyrábějí) v těchto třídách přesnosti:

TP: 0, 05 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2,5 5

Vše, co bylo doposud popsáno, má platnost pro přímá měření. Jak je to s chybami nepřímých měřicích metod ?

Je-li stanovena hodnota měřené veličiny Y nepřímo, tedy výpočtem z hodnot přímo změřených veličin X1, X2, …. , Xn, znamená to, že Y = f(X1 , X2 , …, Xn). Chybu veličiny Y stanovit nelze, protože chyby při měření veličin Xi, i = 1, 2, … , n mohou nabývat hodnot kladných i záporných, ale to neumíme odhadnout. Jediné, co lze stanovit výpočtem, je nejméně příznivý případ, tj. maximální možnou chybu nepřímo měřené veličiny, která by vznikla, pokud by polarity chyb všech přímo měřených byly shodné. Z tohoto důvodu budeme při stanovení chyby nepřímo měřené veličiny uvažovat absolutní hodnoty chyb veličin přímo měřených. Obecně tedy platí: