Pravděpodobnost - náhodný vektor, kovariance, korelace

10. Náhodný vektor (stačí dvourozměrný). Rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru. Nezávislost náhodných veličin.

Náhodný vektor

• n-rozměrný náhodný vektor = uspořádaná n-tice náhodných veličin (X1, …, Xn)

• dvourozměrný náhodný vektor (X, Y)

• náhodné vektory se využívají pro popis více vlastností jednoho objektu (např. rychlost chemické reakce a množství katalyzátoru)

Rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru

• pro diskrétní náhodný vektor – pomocí sdružené pravděpodobnostní funkce

• Vlastnosti sdružené pravděpodobnostní funkce

• Marginální pravděpodobnostní funkce – určují rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých složek náhodného vektoru

• pro spojitý náhodný vektor (X, Y) – pomocí sdružené hustoty pravděpodobnosti – taková nezáporná funkce, že

• geometrický význam této pravděpodobnosti je objem tělesa pod grafem hustoty na množině [a, b] × [c, d]

• Vlastnosti sdružené hustoty pravděpodobnosti

• Marginální rozdělení pravděpodobnosti

• Rozdělení pravděpodobnosti lze pro diskrétní i spojité náhodné vektory určit pomocí sdružené distribuční funkce

• Vlastnosti sdružené distribuční funkce

• Spojitost s pravděpodobnostní funkcí a hustotou

Číselné charakteristiky náhodných vektorů

• Střední hodnota

  • E(X,Y) = (EX, EY)

• Kovariační (variační matice) – obdoba rozptylu jedné náhodné veličiny

  • $\text{var}\left( X,Y \right) = \begin{pmatrix} \text{varX} & cov(X,Y) \\ cov(X,Y) & \text{varY} \\ \end{pmatrix}$

• Korelační matice

  • $\text{corr}\left( X,Y \right) = \begin{pmatrix} 1 & \rho(X,Y) \\ \rho(X,Y) & 1 \\ \end{pmatrix}$

Nezávislost náhodných veličin X, Y

• Diskrétní

• Spojité

• Pokud jsou veličiny X a Y nezávislé, rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y) se označuje jako součinové

• Souvislost nezávislosti dvou diskrétních náhodných veličin s nezávislostí náhodných jevů

11. Korelace a kovariance dvou náhodných veličin. Souvislost s nezávislostí a pravidla výpočtu.

Korelace a kovariance vyjadřují míru statistické lineární závislosti náhodných veličin (jak moc jsou dvě veličiny na sobě závislé)

Kovariance

• cov(X, Y) = E • (X−EX) • (Y−EY) = EXY − EX • EY

  • Platí pouze pokud EX2 < + ∞, EY2 < + ∞

• cov(X,X) = varX

• Pro diskrétní náhodné veličiny

• Pro spojité náhodné veličiny

Korelační koeficient – získáme ho znormováním kovariance

• $\rho\left( X,Y \right) = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{\text{varX}}\sqrt{\text{varY}}}$

• za předpokladu, že 0 < var X < +∞, 0 < var Y < +∞

• vlastnosti korelačního koeficientu

  •  − 1 ≤ ρ(X,Y) ≤ 1, ρ(X,X) = 1, ρ(X,Y) = ρ(Y, X)

  • ρ(X,Y) = 1 právě tehdy, když Y = kX + q, k > 0, q ∈ R – rostoucí přímka (dokonalá lineární závislost)

  • ρ(X,Y) =  − 1 právě tehdy, když Y = kX + q, k < 0, q ∈ R – klesající přímka (dokonalá lineární závislost)

  • X, Y – nezávislé ρ(X,Y) = 0

  • ρ(X,Y) = 0 (tedy i cov(X,Y) = 0) náhodné veličiny jsou nekorelované (nejsou statisticky lineárně závislé)

  • S rostoucí |ρ(X,Y)| roste i statistická lineární závislost X, Y