Statistika - ANOVA, test nezávislost kvantitativních veličin

11. Parametrická jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA). Vysvětlete, kdy se používá a uveďte předpoklady této metody.

= zobecnění dvouvýběrového t-testu o shodě středních hodnot pro více než dva výběry

Balanced ANOVA = všechny výběry mají stejný počet opakování n

one-way ANOVA (jednofaktorová) – porovnáváme střední hodnoty jedné proměnné setříděné podle jednoho faktoru (např. místo měření)

• zjišťujeme, zda střední hodnoty sledovaného znaku v různých skupinách (nezávislých náhodných výběrech) se liší nebo ne

• Předpoklady:

  • k nezávislých náhodných výběrů, každý o rozsahu n, všechny výběry pochází z normálního rozdělení se stejnými rozptyly

• Hypotézy:

  • H0 : µ1 = … = µk

  • H1 : nonH0

    • Alternativní hypotéza platí pouze v případě, že existuje alespoň jedna dvojice středních hodnot, které se nerovnají.

    • i, j ∈ {1, …, k}, i ≠ j, taková, že µi ≠ µj

• testová statistika

• V čitateli je odhad rozptylu σ2 proveden na základě meziskupinové variability

• Ve jmenovateli je odhad rozptylu σ2 proveden na základě vnitroskupinové variability

• $\overline{X}$ a Sl2 jsou nezávislé -> nezávislé jsou i hodnoty v čitateli a jmenovateli -> jejich podíl, má F-rozdělení

• SSH – meziskupinový součet čtverců

• SSE – vnitroskupinový (reziduální) součet čtverců

• Kritický obor

  • Porušení H0 vede ke zvýšení čitatele (meziskupinové variability), jmenovatel zůstává stejný -> pro velké hodnoty testové statistiky F zamítáme H0

Příklad použití metody:

• Máme tři skupiny studentů, které byly vystaveny různým výukovým metodám, a jejich skóre z testu. Cílem je zjistit, zda výuková metoda ovlivňuje výsledky.

12. Test nezávislosti dvou kvantitativních náhodných veličin. Uveďte předpoklady a použití.

= test nulovosti korelačního koeficientu

• Dvourozměrný náhodný výběr z rozdělení náhodného vektoru (X, Y)

• Princip metody – pokud je korelační koeficient ρ (X, Y) rovný nule veličiny X a Y jsou statisticky lineárně nezávislé

• (X, Y) musí pocházet z dvourozměrného normálního rozdělení

• Bodový odhad korelačního koeficientu

• Kde SXY je tzv. výběrová kovariance (=bodový odhad kovariance)

• Odhad r (X, Y) korelačního koeficientu se nazývá výběrový korelační koeficient a pltí pro něj

  •  − 1 ≤ r (X, Y) ≤ 1

• H0 : ρ (X, Y)  = 0

• Testová statistika R má za platnosti H0 t-rozdělení o n−2 stupních volnosti

$$R = \frac{r(X,Y)}{\sqrt{1 - r^{2}(X,Y)}}\sqrt{n - 2}$$

• Použití testu:

Zkoumáme vztah mezi počtem hodin strávených učením a výsledky studentů v testu. Chceme zjistit, zda existuje statisticky významná lineární korelace mezi počtem hodin učení (X) a výsledkem testu (Y).