Statistika - párový test, dvouvýběrový - rozptyly, test nezávislosti v tabulkách

9. Dvouvýběrový test shody rozptylů. Uveďte předpoklady a použití.

• Máme dva na sobě nezávislé náhodné výběry z normálního rozdělení

  • X1, …, Xn z N (µ1, σ12)

  • Y1, …, Yn z N (µ2, σ22)

• H0 : σ12 = σ22 nebo $H_{0}\ :\ \frac{{\sigma_{1}}^{2}}{{\sigma_{2}}^{2}} = 1$

• Bodové odhady S12, S12 mají χ2–rozdělení

• Testová statistika R má za platnosti H0 Fisherovo-Snedecorovo rozdělení o n-1, m-1 stupních volnosti

$$R = \frac{{S_{1}}^{2}}{{S_{2}}^{2}}$$

• Použití testu:

  • Chceme zjistit, zda rozptyl počtu hodin strávených učením během týdne mezi dvěma skupinami studentů (jedna studující ekonomii a druhá studující biologii) je stejný.

  • Chceme zjistit, zda rozptyl krevního tlaku u mužů a žen je stejný.

Existuje i test shody středních hodnot s neznámými ale shodnými rozptyly – v praxi tato situace moc nenastává.

10. Párový test. Uveďte předpoklady a použití.

• Dvojice veličin a sobě musí být závislá

• Dvourozměrný náhodný výběr (X1, Y1), …, (Xn, Yn) pochází z dvourozměrného normálního rozdělení

• X1, …, Xn mají střední hodnotu µ1 a rozptyl σ12

• Y1, …, Yn mají střední hodnotu µ2 a rozptyl σ22

• Definujeme novou náhodnou veličinu Zi = Xi – Yi, která má také normální rozdělení se střední hodnotou µZ = µ1 - µ2 a výběrovým rozptylem SZ2 = $\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(Z_{i} - \overline{Z})}^{2}$

• Hypotéza H0 : μ1 = μ2 je ekvivalentní s hypotézou H0 : μZ = 0

  • Po zadefinování veličiny Z už můžeme na test nahlížet jako na jednovýběrový test o střední hodnotě s testovou statistikou: (µ0 = 0$R = \frac{\overline{Z}}{S_{Z}}\sqrt{n}$

• Použití testu:

  • Máme data o výkonnosti zaměstnanců před a po školení. Chceme zjistit, zda školení vedlo ke statisticky významnému zlepšení výkonnosti.

14. Testy nezávislosti v kontingenčních tabulkách. Uveďte předpoklady a použití.

• Využití pro kvalitativní veličiny

  • můžeme jim přiřadit (pro snadnou manipulaci) číselné hodnoty, ale nemůžeme zavést žádné uspořádání (říct co je víc či míň)

  • např. barva vlasů

• využívá se kontingenční tabulka četností – řádky udávají četnost veličiny X, sloupce četnost veličiny Y

• kontingenční tabulka (nij) o r řádcích a c sloupcích

$$n = \sum_{i = 1}^{r}{\sum_{j = 1}^{c}n_{\text{ij}}}$$

• H0 : veličiny X a Y jsou nezávislé

• H1 : veličiny X a Y nejsou nezávislé

• Testová statistika R za platnosti H0 má asymptoticky χ2–rozdělení o (r − 1)(c − 1) stupních volnosti

Příklad použití testu:

• Zkoumáme, zda je preferovaný typ jídla (maso/vegetariánské) nezávislý na pohlaví (muž/žena). Chceme zjistit, zda existuje statisticky významný vztah mezi preferencí jídla a pohlavím.