1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
2
·
2
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t
= 2
t +
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
= 2
p
x − 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
p
x − 1
+ C
Rozdělíme zlomek na dva jednodušší.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
1 +
√
x − 1
x
d
x.
Z
1 +
√
x − 1
x
d
x =
x − 1 = t
2
d
x = 2t dt
x = t
2
+ 1
p
x − 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 +
t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t
2 + t
t2 + 1
d
t = 2
Z
1 +
t − 1
t2 + 1
d
t
= 2
Z
1 +
1
2
·
2
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t
= 2
t +
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
= 2
p
x − 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
p
x − 1
+ C
“Vytvoříme” v čitateli derivaci jmenovatele pomocí multiplikativní konstanty 2.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
1 +
√
x − 1
x
d
x.
Z
1 +
√
x − 1
x
d
x =
x − 1 = t
2
d
x = 2t dt
x = t
2
+ 1
p
x − 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 +
t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t
2 + t
t2 + 1
d
t = 2
Z
1 +
t − 1
t2 + 1
d
t
= 2
Z
1 +
1
2
·
2
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t
= 2
t +
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
= 2
p
x − 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
p
x − 1
+ C
Zintegrujeme podle vzorců a podle vztahu
Z
f ′(x)
f (x)
d
x = ln |f (x)|.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
1 +
√
x − 1
x
d
x.
Z
1 +
√
x − 1
x
d
x =
x − 1 = t
2
d
x = 2t dt
x = t
2
+ 1
p
x − 1 = t
=
Z
1 +
√
t2
t2 + 1
· 2t dt
= 2
Z
1 +
t
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t
2 + t
t2 + 1
d
t = 2
Z
1 +
t − 1
t2 + 1
d
t
= 2
Z
1 +
1
2
·
2
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t
= 2
t +
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
= 2
p
x − 1 +
1
2
ln
|x| − arctg
p
x − 1
+ C
Použijeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné