1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x =
1
3
(
t
2 − 2)
t =
p
3
x + 2
=
Z
t − 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t − 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t
2 − t
t2 + 1
d
t = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
d
t
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t = 2
t −
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
+ C
= 2
p
3
x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg
p
3
x + 2 + C
Vydělíme
t
2 − t
t2 + 1
=
(
t
2 + 1) + (−t − 1)
t2 + 1
= 1 + −
t − 1
t2 + 1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
√
3
x + 2 − 1
x + 1
d
x.
Z √3x + 2 − 1
x + 1
d
x
3
x + 2 = t2
3 d
x = 2t dt
d
x =
2
3
t dt
x =
1
3
(
t
2 − 2)
t =
p
3
x + 2
=
Z
t − 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t − 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t
2 − t
t2 + 1
d
t = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
d
t
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t = 2
t −
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
+ C
= 2
p
3
x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg
p
3
x + 2 + C
Získaná funkce je zlomek, který před integrováním rozdělíme na součet
zlomku, který má v čitateli derivaci jmenovatele, a zlomku, který má v čitateli
jen konstantu. Oba zlomky pak snadno zintegrujeme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
√
3
x + 2 − 1
x + 1
d
x.
Z √3x + 2 − 1
x + 1
d
x
3
x + 2 = t2
3 d
x = 2t dt
d
x =
2
3
t dt
x =
1
3
(
t
2 − 2)
t =
p
3
x + 2
=
Z
t − 1
1
3 (t
2 − 2) + 1
·
2
3
t dt
= 2
Z
t − 1
t2 + 1
· t dt = 2
Z
t
2 − t
t2 + 1
d
t = 2
Z
1 +
−t − 1
t2 + 1
d
t
= 2
Z
1
−
t
t2 + 1
−
1
t2 + 1
d
t = 2
t −
1
2
ln
|t
2
+ 1| − arctg t
+ C
= 2
p
3
x + 2 − ln |3x + 3| − 2 arctg