1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
e
√
x+1
√
x + 1
d
x
Z
e
√
x+1
√
x + 1
d
x =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
d
x
p
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
d
x = dt
1
√
x + 1
d
x = 2 dt
=
Z
et2 dt = 2et = 2e
√
x+1 + C
Užijeme substituci
t =
p
x + 1 k návratu k původní proměnné. Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
• Rozepíšeme funkci tg x pomocí funkcí sin x a cos x.
• Lichá mocnina je i v čitateli, i ve jmenovateli. Vybereme si tu v čitateli.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
“Vytáhneme” jednu mocninu funkce sin
x z čitatele.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d