1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
matu.
• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
• Červená šipka reprezentuje integrování.
derivace
derivace
derivace
derivace
integrace
integrace
integrace
integrace
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
(
x3 + 2x)e−x dx.
Z
(
x3 + 2x)e−x dx
=
u = x
3 + 2x
3
x
2 + 2
6
x
6
0
v ′ = e−
x
−e
−x
e−
x
−e
−x
e−
x
= −(x3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−x(x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x(x3 + 3x2 + 8x + 8)
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko
ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a
všechny součiny sečteme.
so
uč
in
so
uč
in
souč
in
so
uč
in
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
(
x3 + 2x)e−x dx.
Z
(
x3 + 2x)e−x dx
=
u = x
3 + 2x
3
x
2 + 2
6
x
6
0
v ′ = e−
x
−e
−x
e−
x
−e
−x
e−
x
= −(x3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−x(x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x(x3 + 3x2 + 8x + 8)
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
4
Integrace pomocí substituce.
Věta 7. Nechť
f (t) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(x) má deri-
vaci na intervalu
J a platí ϕ(J) = I. Potom na intervalu J platí
Z
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
Z
f (t) dt,
(4)
dosadíme-li napravo
t = ϕ(x).
Schematicky:
ϕ(x) = t
ϕ′(x) dx = dt
Věta 8. Nechť
f (x) je funkce spojitá na intervalu I, nechť funkce ϕ(t) má nenu-
lovou derivaci na intervalu
J a platí ϕ(J) = I. Potom na intervalu I platí
Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t))ϕ′(t) dt,
(5)
dosadíme-li napravo
t = ϕ−
1(x), kde ϕ−1(x) je funkce inverzní k funkci ϕ(x).
Schematicky:
x = ϕ(t)
d
x = ϕ′(t) dt
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×