1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
• Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho sche-
matu.
• Žlutá šipka reprezentuje derivování. Derivujeme až na nulu.
• Červená šipka reprezentuje integrování.
derivace
derivace
derivace
derivace
integrace
integrace
integrace
integrace
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
x3 sin x dx.
Z
x
3 sin x dx =
u = x
3
3
x
2
6
x
6
0
v ′ = sin x
− cos x
− sin x
cos
x
sin
x
= −x3 cos x − (−3x2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x3 + 6x) cos(x) + (3x2 − 6) sin x + C
Násobíme ve směru šipek. Součinům ve směru žlutých šipek znaménko
ponecháme, součinům ve směru červených šipek znaménko změníme a
všechny součiny sečteme.
so
uč
in
so
uč
in
so
uč
in
so
uč
in
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
x3 sin x dx.
Z
x
3 sin x dx =
u = x
3
3
x
2
6
x
6
0
v ′ = sin x
− cos x
− sin x
cos
x
sin
x
= −x3 cos x − (−3x2 sin x) + 6x cos x − 6 sin x
= (−x3 + 6x) cos(x) + (3x2 − 6) sin x + C
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
(
x3 + 2x)e−x dx.
Z
(
x3 + 2x)e−x dx
=
u = x
3 + 2x
3
x
2 + 2
6
x
6
0
v ′ = e−
x
−e
−x
e−
x
−e
−x
e−
x
= −(x3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−x(x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x(x3 + 3x2 + 8x + 8)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
(
x3 + 2x)e−x dx.
Z
(
x3 + 2x)e−x dx
=
u = x
3 + 2x
3
x
2 + 2
6
x
6
0
v ′ = e−
x
−e
−x
e−
x
−e
−x
e−
x
= −(x3 + 2x)e−x − (3x2 + 2)e−x + (−6xe−x) − 6e−x
= −e−x(x3 + 2x + 3x2 + 2 + 6x + 6)
= −e−x(x3 + 3x2 + 8x + 8)
• Třikrát integrujeme per-partés, ale všechno zapíšeme do jednoho sche-