1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
• Integrujeme per-partés.
• Polynom budeme derivovat a exponencielu integrovat.
• Nezapomeňme, že
Z
e−x dx = −e−
x.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x2 + 1)e−x dx.
Z
(
x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Vzorec je
Z
u · v′ dx = u · v −
Z
u′ · v dx
.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x2 + 1)e−x dx.
Z
(
x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
• Opět polynom krát exponenciální funkce.
• Opět integrujeme per-partés. Opět derivujeme polynom.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x2 + 1)e−x dx.
Z
(
x2 + 1)·e−
x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
Z
xe−x dx
u = x
u′ = 1
v ′ = e−x
v = −e−
x
= −(x2 + 1)e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −(x2 + 1)e−x + 2(−xe−x − e−x) = −e−x(x2 + 2x + 3) + C,
Vzorec pro červenou část je
Z
uv ′ dx = uv −
Z
u′v dx, zbytek zůstane.