1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Funkce je součinem polynomu a sinu
→ per-partés.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x − 2) · sin(2x) dx
Z
(
x − 2)sin(2x) dx =
u = x − 2
u′ = 1
v ′ = sin(2x)
v = −
1
2
cos 2
x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2
x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2
x
d
x
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Integrujeme per-partés pomocí vzorce
Z
u · v′ dx = u · v −
Z
u′ · v dx
při
u = x − 2 a v′ = sin(2x).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x − 2) · sin(2x) dx
Z
(
x − 2)sin(2x) dx =
u = x − 2
u′ = 1
v ′ = sin(2x)
v = −
1
2
cos 2
x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2
x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2
x
d
x
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Platí
v =
Z
v ′(x) dx =
Z
sin(2
x) dx = −
1
2
cos(2
x),
protože
Z
sin
x dx = − cos x
a
Z
f (ax + b) =
1
a
F (ax + b).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x − 2) · sin(2x) dx
Z
(
x − 2)sin(2x) dx =
u = x − 2
u′ = 1
v ′ = sin(2x)
v = −
1
2
cos 2
x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2
x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2
x
d
x
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Z
u · v′ dx = u · v −
Z
u′ · v dx
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x − 2) · sin(2x) dx