1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
P (x) je polynom.
Z
P (x)eαx dx,
Z
P (x) sin(αx) dx,
Z
P (x) cos(αx) dx,
Z
P (x)arctg x dx,
Z
P (x)ln
m x dx.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x + 1) · ln x dx
Z
(
x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = x + 1
v =
x
2
2
+ x
= ln x
x
2
2
+ x
!
−
Z
1
x
x
2
2
+ x
!
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
Z 1
2
x + 1
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
2
·
x
2
2
+ x
!
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
4
x2 − x + C
Funkce je součinem polynomu a logaritmické funkce
→ per-partés.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x + 1) · ln x dx
Z
(
x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = x + 1
v =
x
2
2
+ x
= ln x
x
2
2
+ x
!
−
Z
1
x
x
2
2
+ x
!
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
Z 1
2
x + 1
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
2
·
x
2
2
+ x
!
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
4
x2 − x + C
Integrujeme per-partés pomocí vzorce
Z
u · v′ dx = u · v −
Z
u′ · v dx
při
u = ln x a v ′ = x + 1.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x + 1) · ln x dx
Z
(
x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = x + 1
v =
x
2
2
+ x
= ln x
x
2
2
+ x
!
−
Z
1
x
x
2
2
+ x
!
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
Z 1
2
x + 1
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
2
·
x
2
2
+ x
!
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
4
x2 − x + C
Integrujeme per-partés pomocí vzorce
Z
u · v′ dx = u · v −
Z
u′ · v dx
při
u = ln x a v ′ = x + 1.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x + 1) · ln x dx
Z
(
x + 1) ln x dx =
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = x + 1
v =
x
2
2
+ x
= ln x
x
2
2
+ x
!
−
Z
1
x
x
2
2
+ x
!
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
Z 1
2
x + 1
d
x
=
x
2
2
+ x
!
ln
x −
1
2
·
x
2
2
+ x
!
=
x
2
2
+ x