1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
5
arctg
x − 2
√
5
+ C
Z
1
A2 + x2
d
x =
1
A
arctg
x
A
, kde v našem případě
A =
p
5
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
x + 5
x2 − 4x + 9
d
x.
I =
Z
x + 5
x2 − 4x + 9
d
x
=
Z
1
2 (2x − 4)
+2+5
x2 − 4x + 9
d
x
=
Z
1
2
·
2
x − 4
x2 − 4x + 9
+
2 + 5
x2 − 4x + 9
d
x
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(
x − 2)2 + 5
d
x
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x − 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x − 2
√
5
+ C
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b), v našem případě a = 1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Najděte
Z
x + 5
x2 − 4x + 9
d
x.
I =
Z
x + 5
x2 − 4x + 9
d
x
=
Z
1
2 (2x − 4)
+2+5
x2 − 4x + 9
d
x
=
Z
1
2
·
2
x − 4
x2 − 4x + 9
+
2 + 5
x2 − 4x + 9
d
x
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| +
Z
7
(
x − 2)2 + 5
d
x
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x − 2
√
5
·
1
1
=
1
2
ln
|x
2 − 4x + 9| + 7 ·
1
√
5
arctg
x − 2
√
5
+ C
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Základní vzorce
c
Robert Mařík, 2012 ×
3
Integrace per-partés
Věta 6. Nechť funkce
u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí
Z
u(x)v ′(x) dx = u(x)v (x) −
Z
u′(x)v (x) dx,
(2)
pokud integrál na pravé straně existuje.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
Věta 6. Nechť funkce
u a v mají derivace na intervalu I. Pak platí
Z
u(x)v ′(x) dx = u(x)v (x) −
Z
u′(x)v (x) dx,
(3)
pokud integrál na pravé straně existuje.
Důkaz:
(
uv)′ = u′v + uv′
derivace součinu
Z
(
uv)′ dx =
Z
u′v dx +
Z
uv′ dx
zintegrování a linearita integrálu
uv =
Z
u′v dx +
Z
uv′ dx
integrál odstraní derivaci
uv −
Z
u′v dx =
Z
uv′ dx
algebraická úprava
Integrály typické pro výpočet metodou per-partés.