1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
(
x − 2)sin(2x) dx =
u = x − 2
u′ = 1
v ′ = sin(2x)
v = −
1
2
cos 2
x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2
x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2
x
d
x
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Vytkneme konstantu
−
1
2
z integrálu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x − 2) · sin(2x) dx
Z
(
x − 2)sin(2x) dx =
u = x − 2
u′ = 1
v ′ = sin(2x)
v = −
1
2
cos 2
x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2
x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2
x
d
x
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Platí
Z
cos(2
x) dx =
1
2
sin(2
x), protože
Z
cos
x dx = sin x
a
Z
f (ax + b) =
1
a
F (ax + b).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x − 2) · sin(2x) dx
Z
(
x − 2)sin(2x) dx =
u = x − 2
u′ = 1
v ′ = sin(2x)
v = −
1
2
cos 2
x
= (x − 2) ·
−
1
2
cos(2
x)
−
Z
1
·
−
1
2
cos 2
x
d
x
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
Z
cos 2
x dx
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
2
·
1
2
sin(2
x) + C
= −
1
2
(
x − 2) cos(2x) +
1
4
sin(2
x) + C
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x2 + 1) sin x dx
Z
(
x2 + 1) · sin x dx
u = x2 + 1
u′ = 2x
v ′ = sin x
v = − cos x
= −(x2 + 1) cos x + 2
Z
x · cos x dx
u = x
u′ = 1
v ′ = cos x
v = sin x
= −(x2 + 1) cos x + 2
x sin x −
Z
sin
x dx
= −(x2 + 1) cos x + 2
x sin x − (− cos x)
= (1 − x2) cos x + 2x sin x + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
(
x2 + 1) sin x dx