1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
♣
Vypočtěte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 +
x2
v ′ = x
v =
x
2
2
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
Z
x
2
1 +
x2
d
x
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
Z
1
−
1
1 +
x2
d
x
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
x − arctg x
+ C.
Z
uv ′ dx = uv −
Z
u′v dx
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 +
x2
v ′ = x
v =
x
2
2
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
Z
x
2
1 +
x2
d
x
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
Z
1
−
1
1 +
x2
d
x
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
x − arctg x
+ C.
Musíme integrovat racionální funkci. Nejprve provedeme dělení:
x
2
x2 + 1
=
(
x
2 + 1) − 1
x2 + 1
=
x
2 + 1
x2 + 1
−
1
x2 + 1
= 1 −
1
x2 + 1
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x arctg x dx.
Z
x arctg x dx
u = arctg x
u′ =
1
1 +
x2
v ′ = x
v =
x
2
2
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
Z
x
2
1 +
x2
d
x
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
Z
1
−
1
1 +
x2
d
x
=
x
2
2
arctg
x −
1
2
x − arctg x
+ C.
K dokončení zbývá integrovat jedničku a jeden zlomek. To provedeme
pomocí příslušných vzorců.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
ln
x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 d
x
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
ln
x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 d
x
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C
Ve funkci je “zašifrovaný” součin polynomu a logaritmické funkce:
Z
1
· ln x dx.
Integrujeme per-partés při volbě
u = ln x a v ′ = 1.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace per-partés
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
ln
x dx
Z
1
· ln x dx
u = ln x
u′ =
1
x
v ′ = 1
v = x
= x ln x −
Z
1 d
x
= x ln x − x
= x(ln x − 1) + C