1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d
x
Z
x
x4 + 16
d
x
x2 = t
2
x dx = dt
x dx =
1
2
d
t
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
d
t
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x
2
4
+ C
• Substituce x
4
+ 16 = t, nebo x4 = t, nejsou úplně šikovné, protože vztah
mezi diferenciály při této substituci je
4
x3 dx = dt,
avšak člen
x
3 dx nikde v integrálu není.
• Člen x dx napovídá, použít substituci x
2
= t.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x
x4 + 16
d
x
Z
x
x4 + 16
d
x
x2 = t
2
x dx = dt
x dx =
1
2
d
t
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
d
t
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x
2
4
+ C
Hledáme vztah mezi diferenciály a vyjádříme z něj výraz
x dx.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x
x4 + 16
d
x
Z
x
x4 + 16
d
x
x2 = t
2
x dx = dt
x dx =
1
2
d
t
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
d
t
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x
2
4
+ C
Substituce
x
2
= t vede k relaci x4 = (x2)2 = t2.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x
x4 + 16
d
x
Z
x
x4 + 16
d
x
x2 = t
2
x dx = dt
x dx =
1
2
d
t
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
d
t
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x
2
4
+ C
Dosadíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x
x4 + 16
d
x
Z
x
x4 + 16
d
x
x2 = t
2
x dx = dt
x dx =
1
2
d
t
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
d
t
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x
2
4
+ C
Užijeme vzorec
Z
1
x2 + A2
d
x =
1
A
arctg
x
A
při
A = 4.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
x
x4 + 16
d
x
Z
x
x4 + 16
d
x
x2 = t
2
x dx = dt
x dx =
1
2
d
t
x4 = t2
=
1
2
Z
1
t2 + 16
d
t
=
1
8
arctg
t
4
=
1
8
arctg
x
2
4
+ C
Užijeme zpětnou substituci
t = x
2. Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
e
√
x+1
√
x + 1
d
x
Z
e
√
x+1
√
x + 1
d
x =
Z
e
√
x+1
1
√
x + 1
d
x
p
x + 1 = t
1
2
√
x + 1
d
x = dt
1
√
x + 1
d
x = 2 dt