1.Neurčitý integrál a základní integrační postupy
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
Upravíme
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
Protože je jmenovatel jednočlenný, stačí vydělit čitatele výrazem
t3.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
Nyní integrujeme pomocí vzorců.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
tg
3 x dx.
Z
tg
3 x dx =
Z
sin
3 x
cos3
x
d
x =
Z
sin
2 x
cos3
x
sin
x dx =
Z
1
− cos
2x
cos3
x
sin
x dx
cos
x = t
− sin x dx = dt
sin
x dx = − dt
=
Z
−
1
− t
2
t3
d
t =
Z
t
2 − 1
t3
d
t =
Z
1
t
− t−
3 dt
= ln |t| +
1
2
t−2 = ln | cos x| +
1
2 cos2
x
+ C
Po integraci provedeme návrat k původní proměnné a přidáme integrační
konstantu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Integrace pomocí substituce.
c
Robert Mařík, 2012 ×
♣
Vypočtěte
Z
√
3
x + 2 − 1
x + 1
d
x.
Z √3x + 2 − 1
x + 1
d
x
3
x + 2 = t2
3 d
x = 2t dt
d
x =
2
3
t dt
x =
1
3
(
t
2 − 2)
t =
p
3
x + 2