2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
LOKÁLNÍ EXTRÉMY
FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH
Robert Mařík
2. října 2009
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Obsah
z = x4 + y4
− 4xy + 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
z = x2y2
− x
2 − y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
z = y
ln(x2 + y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
4x3
− 4y = 0,
4y3
− 4x = 0.
y = x3
4(x3)3
− 4x = 0,
4x9
− 4x = 0,
x
(x
8 − 1) = 0.
Případ 1:
x =
0, y = 0
Případ 2:
x =
1, y = 1
Případ 3:
x =
−1, y = −1
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
4x3
− 4y = 0,
4y3
− 4x = 0.
y = x3
4(x3)3
− 4x = 0,
4x9
− 4x = 0,
x
(x
8 − 1) = 0.
Případ 1:
x =
0, y = 0
Případ 2:
x =
1, y = 1
Případ 3:
x =
−1, y = −1
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4