2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
4x3
− 4y = 0,
4y3
− 4x = 0.
y = x3
4(x3)3
− 4x = 0,
4x9
− 4x = 0,
x
(x
8 − 1) = 0.
Případ 1:
x =
0, y = 0
Případ 2:
x =
1, y = 1
Případ 3:
x =
−1, y = −1
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
Rozložíme na součin.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
4x3
− 4y = 0,
4y3
− 4x = 0.
y = x3
4(x3)3
− 4x = 0,
4x9
− 4x = 0,
x
(x
8 − 1) = 0.
Případ 1:
x =
0, y = 0
Případ 2:
x =
1, y = 1
Případ 3:
x =
−1, y = −1
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
• Buď x = 0, nebo (x
8 − 1) = 0.
• Druhý případ dává x
8
= 1 a x = ±1.
• Uvažujme tedy tři různé případy
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
4x3
− 4y = 0,
4y3
− 4x = 0.
y = x3
4(x3)3