2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
• V bodě S2 je Hessián kladný a funkce zde má lokální extrém.
• Protože z′′xx = 16 > 0, funkce má v bodě S2 lokální minimum.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
• Hessián je kladný v bodě S3 a funkce zde tedy má lokální ex-
trém.
• Protože z′′xx = 16 > 0, má funkce v bodě S3 lokální minimum.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x4 + y4
− 4xy + 30
z′
x
=4x3 − 4y = 0,
z′
y
=4y3 − 4x = 0,
S
1
= [0, 0],
S
2
= [1, 1],
S
3
= [−1, −1].
z′′
xx
= 12x2,
z′′
xy
= −4,
z′′
yy
= 12y2.
H
(S1) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0, sedlo v bodě [0, 0]
H
(S2) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [1, 1]
H
(S3) =
12
−4
−4
12
= 122 − 16 > 0, lok. min. v bodě [−1, −1]
Hotovo!
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2y2
− x
2 − y2
z′
x
= y2(x2)′
x − (x
2)′