2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
− x
2 − y2
z′
x
= y2(x2)′
x − (x
2)′
x
= y22x − 2x
= 2x(y2 − 1)
z′
y
= x2(y2)′
y − (y
2)′
y
= x22y − 2y
= 2y(x2 − 1)
z′
x
=2x(y2 − 1) = 0;
z′
y
=2y(x2 − 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0
− 1) = 0
y =
0
Případ 2: y = 1
2(x2
− 1) = 0
x2 =
±1
Případ 3: y =
−1
−2(x
2 − 1) = 0
x2 =
±1
S
1
= [0, 0]; S
2
= [1, 1]; S
3
= [−1, 1]; S
4
= [1, −1]; S
5
= [−1, −1]
z′′
xx
= 2(y2 − 1)(x)′
x
= 2(y2 − 1) · 1
2
Vypočteme jednotlivé derivace.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2y2
− x
2 − y2
z′
x
= y2(x2)′
x − (x
2)′
x
= y22x − 2x
= 2x(y2 − 1)
z′
y
= x2(y2)′
y − (y
2)′
y
= x22y − 2y
= 2y(x2 − 1)
z′
x
=2x(y2 − 1) = 0;
z′
y
=2y(x2 − 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0
− 1) = 0
y =
0
Případ 2: y = 1
2(x2
− 1) = 0
x2 =
±1
Případ 3: y =
−1
−2(x
2 − 1) = 0
x2 =
±1
S
1
= [0, 0]; S
2
= [1, 1]; S
3
= [−1, 1]; S
4
= [1, −1]; S
5
= [−1, −1]
z′′
xx
= 2(y2 − 1)(x)′
x
= 2(y2 − 1) · 1
2
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2y2
− x
2 − y2
z′
x
=2x(y2 − 1) = 0;
z′
y
=2y(x2 − 1) = 0
Případ 1: x = 0
2y(0
− 1) = 0
y =
0
Případ 2: y = 1
2(x
2 − 1) = 0
x2 =
±1
Případ 3: y =
−1
−2(x
2 − 1) = 0
x2 =
±1
S
1
= [0, 0]; S
2
= [1, 1]; S
3
= [−1, 1]; S
4
= [1, −1]; S
5
= [−1, −1]
z′′
xx
= 2(y2 − 1)(x)′
x
= 2(y2 − 1) · 1
z′′
xy
= 2x(y2 − 1)′
y
= 2x · (2y + 0) = 4xy
z′′
yy
= 2(x2 − 1)(y)′
y
= 2(x2 − 1) · 1
z′′
xx
= 2(y2 − 1);
z′′
xy
= 4xy;
z′′
yy
= 2(x2 − 1)
H
(S1) =
−2
0
0
−2
= 4 > 0
H
(S4) =
0