Řešené teoretické otázky č. 2

22.  Co  je  geometrická a co  algebraická  násobnost  vlastního čísla,  jaký je  mezi  nimi 

vztah? 

Algebraická:  Kolikrát je vl. č. λ kořenem rovnice. 
Geometrická:  Počet LNZ vl. vektorů, příslušných λ. 
 

0 < GN λ < AN λ 

23.  Na  lineárním  prostoru definujte  skalární  součin  vektorů. 
 

Nechť L je lineární, nebo vektorový prostor. Operaci: L × L → R nazveme skalárním součinem, pokud

splňuje 

∀x ∈ L, ∀y ∈ L, ∀z ∈ L, ∀α ∈ R následující vlastnosti: 

                         (1) x 

· y = y · x,

                         (2) (x + y) 

· z = x · z + y · z,

                         (3) (

α · x) · y = α · (x · y),

                         (4) x 

· x ≥ 0, x · x = 0 jen tehdy, když x = o.

24.  Jak  jsou  definovány  velikost  vektoru a  odchylka  nenulových  vektorů? 

Velikost: 

Nechť L je lin. prostor se skalárním součinem. 

Vektor x je definován jako 

. 

Odchylka: 

Nechť L je lin. prostor se SS. 

Odchylka je takové číslo 

, pro které platí: 

25.  Co znamená,  že báze  lineárního  prostoru se skalárním  součinem  je ortogonální 

resp. ortonormální? 

Nechť B = { b1, b2, …, bn } nazýváme ortogonální, pokud bi ⊥ bj ∀i ∈ {1, 2, …, n}, ∀j ∈ 
{1, 2, . . . , n}, i = j. 

      Bázi B nazýváme ortonormální, pokud je ortogonální. 

A navíc ||bi|| = 1, ∀i ∈ {1, 2, …, n}.