Reálné fce., Limita a Spojitost

∞ ? Protoˇ

ze kdyˇz f (x)

→

∞, g(x) → ∞, nelze obecnˇe ˇr´ıci, co dˇel´a

f

(x)

g

(x) . – Operace s ∞ jsou definov´

any

pr´avˇe tak, aby platila Vˇeta 2.7.

Vˇ

eta 2.8.

Nechˇt f (x)

→ 0 pro x → x0.

(1) Je-li nav´ıc f (x) > 0 na jist´em P (x0), pak

1

f

(x) → ∞ pro x → x0.

5

(2) Je-li naopak f (x) < 0 na jist´em P (x0), pak

1

f

(x) → −∞ pro x → x0.

Pˇ

r´ıklady.

1

sin

√

x

x

→ ∞ pro x → 0+

2

1

x

+x

2

→ −∞ pro x → 0−

Vˇ

eta 2.9.

(Zachov´an´ı nerovnosti v limitˇe.) Nechˇt f (x)

→ a pro x → x0.

Nechˇt existuje A

∈ R tak, ˇze f(x) ≤ A na jist´em P (x0). Potom a ≤ A.

Pozn´

amky.

• plat´ı zrcadlov´a verze s ≥ m´ısto ≤

• neplat´ı verze s ostrou nerovost´ı: f(x) = 1 −

1

x

< 1 na P (

∞), avˇsak

limx→∞ f(x) = 1 6< 1
• souhrnˇe: neostr´a nerovnost se v limitˇe zachov´a, ostr´a se m˚

uˇze zmˇenit v

rovnost

Vˇ

eta 2.10.

(O dvou policajtech.) Nechˇt f (x), g(x), h(x) jsou definov´any

na jist´em P (x0).
(1) Nechˇt g(x)

≤ f(x) ≤ h(x) plat´ı na jist´em P (x0), a nechˇt g(x) → a,

h(x)

→ a pro x → x0, kde a ∈ R. Potom f(x) → a pro x → x0.

(2) Nechˇt g(x)

≤ f(x) na na jist´em P (x0), nechˇt g(x) → ∞ pro x → x0.

Potom f (x)

→ ∞ pro x → x0.

(3) Nechˇt f (x)

≤ h(x) na na jist´em P (x0), nechˇt h(x) → −∞ pro x → x0.

Potom f (x)

→ −∞ pro x → x0.

Pˇ

r´ıklady.

1

x

2 +1

⌊x

2 ⌋+1 → 1 pro x → ∞, kde

⌊y⌋ = max

k ∈ Z : k ≤ y

je tzv. cel´a ˇc´ast y.

2

cos x + x → −∞ pro x → −∞
Vˇ

eta 2.11.

Nechˇt f (x) je monot´onn´ı v intervalu (a, b). Potom existuje

limx→a+ f(x) a limx→b− f(x).
Definice.

Nechˇt f (x) je definov´ana na jist´em U+(x0) (respektive U−(x0)),

kde x0

∈ R. ˇ

Rekneme, ˇze f (x) je spojit´a v x0 zprava (resp. zleva), jestliˇze

∀ε > 0

∃δ > 0

x ∈ U+(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ U(f(x0), ε)

respektive

∀ε > 0

∃δ > 0

x ∈ U−(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ U(f(x0), ε) .

Ekvivalentn´ı z´apisy (pro spojitost zprava):

∀ε > 0

∃δ > 0

f U+(x0, δ) ⊂ U(f(x0), ε)

∀ε > 0

∃δ > 0

x0 ≤ x < x0 + δ =⇒ |f(x) − f(x0)| < ε

6

Vˇ

eta 2.12.

(1) f (x) je spojit´a v x0 zprava, pr´avˇe kdyˇz limx→x

0

+ f (x) = f (x0).

(2) f (x) je spojit´a v x0 zleva, pr´avˇe kdyˇz limx→x

0

− f (x) = f (x0).

(3) f (x) je spojit´a v x0, pr´avˇe kdyˇz je tam spojit´a zleva i zprava.

Pˇ

r´ıklad.

f (x) =

⌊x⌋ je v 0 spojit´a zprava, nespojit´a zleva.

Definice.

Nechˇt I

⊂ R je interval a f(x) : I → R. ˇ

Rekneme, ˇze f (x) je

spojit´a v I (na I), jestliˇze pro kaˇzd´e x0

∈ I plat´ı:

∀ε > 0

∃δ > 0

x ∈ U(x0, δ) ∩ I =⇒ f(x) ∈ U(f(x0), ε) .

Pozn´

amka.

U intervalu rozliˇsujeme vnitˇrn´ı a krajn´ı body. Bod x0

∈ I je

vnitˇrn´ı, pr´avˇe kdyˇz existuje δ > 0 tak, ˇze U(x0, δ)

⊂ I. Krajn´ı bod m˚

uˇze,

ale nemus´ı b´yt prvkem intervalu.
Tedy (a, b), [a, b), (a, b] a [a, b] jsou intervaly s krajn´ımi body a, b. Vnitˇrn´ımi
body jsou ve vˇsech ˇctyˇrech pˇr´ıpadech body z (a, b).