Reálné fce., Limita a Spojitost

2. Re´

aln´

e funkce. Limita a spojitost.

Definice.

Nechˇt M, N jsou mnoˇziny. Funkc´ı (zobrazen´ım) f z M do N

se rozum´ı libovoln´y pˇredpis, kter´y kaˇzd´emu prvku z M pˇriˇrad´ı pr´avˇe jeden
prvek z N. Znaˇc´ıme f : M

→ N, x 7→ f(x).

Funkce je prost´a, pokud x

6= y =⇒ f(x) 6= f(y). Pro A ⊂ M definuji obraz

A jako

f (A) =

{y ∈ N; ∃x ∈ N tak, ˇze f(x) = y}

a pro B

⊂ N definuji vzor B jako

f −1(B) =

{x ∈ M; f(x) ∈ B} .

Funkce je ’na’ (zobrazuje M na N), pokud f (M) = N.
Je-li f : M

→ N prost´a a na, ˇrekneme, ˇze je vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´a. Pak

lze definovat inverzn´ı funkci f−1 : N → M, kter´a prvku y ∈ N pˇriˇrad´ı ten
(jednoznaˇcnˇe urˇcen´y) prvek x

∈ M, ˇze f(x) = y.

Je-li f : M

→ N, a A ⊂ M, pak restrikc´ı (z´uˇzen´ım) f na A rozum´ım

zobrazen´ı, kter´a m´a stejn´y pˇredpis jako f , ale uvaˇzuji ho jenom pro x

∈ A.

Znaˇc´ıme f

|A.

Je-li f : M

→ N, g : N → K, definujeme sloˇzen´e zobrazen´ı (superpozici)

g

◦ f : M → K pˇredpisem x 7→ g(f(x)).

Obˇcas p´ıˇseme f : M

→ N, aˇckoliv f(x) nen´ı definov´ano pro ´uplnˇe vˇsechna

x

∈ M. Pak znaˇc´ı Df (definiˇcn´ı obor f) mnoˇzinu tˇech x ∈ M, pro nˇeˇz f(x)

definov´ano je, a Hf (obor hodnot) znaˇc´ı f (Df ).

´

Umluva.

Re´alnou funkc´ı rozum´ıme funkci z R do R, tj. nepˇripouˇst´ıme

±∞

v argumentu nebo hodnotˇe funkce.

Definice.

Re´aln´a funkce f (x) se nazve rostouc´ı (resp. klesaj´ıc´ı resp. neros-

touc´ı resp. neklesaj´ıc´ı) na mnoˇzinˇe M, pokud

∀x < y ∈ M je f(x) < f(y)

(resp. f (x) > f (y) resp. f (x)

≥ f(y) resp. f(x) ≤ f(y)).

Tyto funkce se souhrnnˇe naz´yvaj´ı monot´onn´ı (prvn´ı dvˇe pak ryze monot´onn´ı).
Funkce se nazve shora (zdola) omezen´a na M, jestliˇze existuje K tak, ˇze
f (x)

≤ K (resp. f(x) ≥ K) pro ∀x ∈ M. Funkce je omezen´a, pr´avˇe kdyˇz je

shora i zdola omezen´a, coˇz je pr´avˇe kdyˇz (

∃K > 0)(∀x ∈ M)[|f(x)| ≤ K].

Definice.

Nechˇt δ > 0. Pro x0

∈ R definujeme

U(x0, δ) = (x0

− δ, x0 + δ) . . . kruhov´e δ-okol´ı x0

P (x0, δ) = U(x0, δ)

\ {x0} = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ) . . . prstencov´e (reduko-

van´e) δ-okol´ı x0
U+(x0, δ) = [x0, x0 + δ) . . . prav´e kruhov´e δ-okol´ı x0
U−(x0, δ) = (x0 − δ, x0] . . . lev´e kruhov´e δ-okol´ı x0
P+(x0, δ) = (x0, x0 + δ) . . . prav´e prstencov´e δ-okol´ı x0

1

P−(x0, δ) = (x0 − δ, x0) . . . lev´e prstencov´e δ-okol´ı x0
D´ale definujeme
U(

∞, δ) = (

1
δ , ∞], P (∞, δ) = (

1
δ , ∞)

U(

−∞, δ) = [−∞, −

1
δ ), P (−∞, δ) = (−∞, −

1
δ )

U−(∞, δ) = U(∞, δ), P−(∞, δ) = P (∞, δ), U+(−∞, δ) = U(−∞, δ), P+(−∞, δ) =
P (

−∞, δ).

Prav´e okol´ı

∞, lev´e okol´ı −∞ nedefinujeme.

Pozn´

amky.

• pozoruji: δ1 < δ2 =⇒ U(x0, δ1) ⊂ U(x0, δ2) . . . ˇc´ım menˇs´ı δ, t´ım menˇs´ı
okol´ı (plat´ı i u