Reálné fce., Limita a Spojitost

Vˇ

eta 2.13.

Nechˇt I

⊂ R je interval a f(x) : I → R. Potom n´asleduj´ıc´ı

tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı:
(1) f (x) je spojit´a v I
(2) f (x) je spojit´a v kaˇzd´em vnitˇrn´ım bodˇe I; pokud lev´y krajn´ı bod je
prvkem I, je v nˇem spojit´a zprava; pokud prav´y krajn´ı bod je prvkem I, je
v nˇem spojit´a zleva
(3) f (x) je spojit´a zprava v kaˇzd´em bodˇe I, kter´y nen´ı prav´y krajn´ı, a je
spojit´a zleva v kaˇzd´em bodˇe I, kter´y nen´ı lev´y krajn´ı

Vˇ

eta 2.14.

Nechˇt f (x), g(x) jsou spojit´e v intervalu I. Potom funkce

f (x) + g(x), f (x)

− g(x), f(x) · g(x) jsou spojit´e v I. Jestliˇze g(x) 6= 0 pro

∀x ∈ I, je tak´e funkce

f

(x)

g

(x) spojit´

a v I.

Vˇ

eta 2.15.

(Spojitost superpozice.) Nechˇt f (x) je spojit´a v I, nechˇt g(y)

je spojit´a v J, kde I, J

⊂ R jsou intervaly. Nechˇt f(I) ⊂ J. Potom funkce

(g

◦ f)(x) je spojit´a v I.

Pozn´

amka.

Ihned z definice plyne: je-li f (x) spojit´a v I, a ˜

I

⊂ I, pak f(x)

je spojit´a v ˜

I.

Vˇ

eta 2.16.

(Darbouxova.) Nechˇt f (x) je spojit´a v I, kde I

⊂ R je interval.

Nechˇt γ leˇz´ı mezi f (a), f (b), kde a, b

∈ I. Potom mezi a, b leˇz´ı c takov´e, ˇze

f (c) = γ.

Pozn´

amka.

Vˇetu A4 lze zobecnit takto: Nechˇt M

⊂ R je nepr´azdn´a. Potom

existuje S

∈ R∗ tak, ˇze S = sup M.

Lemma 2.2.

(Charakterizace intervalu.) Nechˇt nepr´azdn´a M

⊂ R m´a

n´asleduj´ıc´ı vlastnost:

7

[*] Jsou-li α, β

∈ M a ˇc´ıslo γ leˇz´ı mezi α a β, pak tak´e γ ∈ M.

Potom M je interval.

D˚

usledek.

Nechˇt I

⊂ R je interval a f(x) : I → R je spojit´a. Potom f(I)

je tak´e interval. (Spojit´y obraz intervalu je interval.)

Vˇ

eta 2.17.

(O inverzn´ı funkci.) Nechˇt I

⊂ R je interval a f(x) je spojit´a,

ryze monot´onn´ı v I. Oznaˇc J = f (I). Potom J je interval, f (x) : I

→ J je

vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´a a f−1(y) : J → I je spojit´a a ryze monot´onn´ı.

D˚

usledek.

D˚

ukaz Vˇety B (o odmocninˇe), nav´ıc dost´av´ame, ˇze n

√

x je pro

sud´e n spojit´a v [0,

∞), pro lich´e n je spojit´a v R.

Lemma 2.3.

(1) Nechˇt f (x) je definov´ana na jist´em P (

∞). Potom

lim

x

→∞

f (x) = lim

y

→0+

f (1/y) .

(2) Nechˇt f (x) je definov´ana na jist´em P (

−∞). Potom

lim

x

→−∞

f (x) = lim

y

→0−

f (1/y) .

Rovnost ch´apu takto: existuje-li jedna limita, existuje i druh´a a rovnaj´ı se.

Pozn´

amky.

Nechˇt I

⊂ R je interval. Funkci F (x) : I → C ztotoˇzn´ım s

dvojic´ı funkc´ı f1(x) : I

→ R, f2(x) : I → R, kde F (x) = f1(x) + if2(x),

neboli f1(x) = Re F (x), f2(x) = Im F (x).
Limitu definuji takto: F (x)

→ A ∈ C pro x → x0, jestliˇze Re F (x) → Re A,

Im F (x)

→ Im A pro x → x0.

Spojitost analogicky: F (x) je spojit´a (v bodˇe, na intervalu), jestliˇze funkce
Re F (x), Im F (x) jsou spojit´e.
T´ımto pˇrechodem k re´aln´e resp. imagin´arn´ı ˇc´asti dok´aˇzeme napˇr. zobecnˇen´ı
Vˇety 2.3. pro A, B

∈ C.