Reálné fce., Limita a Spojitost
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Pozn´
amka.
Plat´ı jednostrann´e verze uveden´ych vˇet, napˇr.:
Jestliˇze f (x)
→ A, g(x) → B pro x → x0+, pak f(x) · g(x) → A · B pro
x
→ x0+.
Jestliˇze f (x) je omezen´a na jist´em P−(x0) a g(x) → 0 pro x → x0−, pak
f (x)
· g(x) → 0 pro x → x0−.
Atd.
Definice.
Nechˇt x0
∈ R, nechˇt f(x) je definov´ana na jist´em U(x0). ˇ
Rekneme,
ˇze f (x) je spojit´a v x0, jestliˇze
∀ε > 0
∃δ > 0
x ∈ U(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ U(f(x0), ε) .
Ekvivalentn´ı z´apisy:
∀ε > 0
∃δ > 0
f U(x0, δ) ⊂ U(f(x0), ε)
∀ε > 0
∃δ > 0
|x − x0| < δ =⇒ |f(x) − f(x0)| < ε
Vˇ
eta 2.5.
(Vztah limity a spojitosti.) N´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı:
(1) f (x) je spojit´a v x0
(2) lim
x
→x0
f (x) existuje a rovn´a se f (x0)
Struˇcnˇe ˇreˇceno: spojit´e funkce jsou takov´e, ˇze limitu x
→ x0 spoˇc´ıt´am
dosazen´ım x = x0.
Pˇ
r´ıklady.
1
polynom, tj. funkce tvaru p(x) = a0x
n + a1xn−1 + · · · + an, kde ak ∈ R
jsou konstanty, je spojit´y v kaˇzd´em x0
∈ R
2
racion´aln´ı funkce, tj. funkce tvaru R(x) =
p(x)
q(x)
, kde p(x), q(x) jsou
polynomy, je spojit´a v kaˇzd´em x0
∈ R, ve kter´em q(x0) 6= 0
3
funkce sin x, cos x, exp x jsou spojit´e v kaˇzd´em bodˇe z R; funkce log x je
spojit´a v kaˇzd´em bodˇe z (0,
∞) - uvid´ıme pozdˇeji
4
funkce
√
x je spojit´a v kaˇzd´em bodˇe z (0,
∞); uvid´ıme pozdˇeji, ˇze n
√
x je
vˇzdy spojit´a (ve sv´em definiˇcn´ım oboru)
5
funkce sgn x je spojit´a vˇsude mimo x = 0
4
6
funkce F (x) = x·D(x), kde D(x) je Dirichletova funkce, je spojit´a v x = 0
a nikde jinde
Vˇ
eta 2.6.
(Limita superpozice) Nechˇt f (x)
→ y0 pro x → x0, nechˇt g(y) →
A pro y
→ y0, kde A, x0, y0 ∈ R∗. Nechˇt je d´ale splnˇen alespoˇn jeden z
n´asleduj´ıc´ıch pˇredpoklad˚
u:
(a) g(y) je spojit´a v y0
(b)
∃δ > 0 tak, ˇze f(x) 6= y0 pro ∀x ∈ P (x0, δ)
Potom g(f (x))
→ A pro x → x0.
Pˇ
r´ıklady.
1
√
x3
− 3x + 1 →
√
3 pro x
→ 2
2
sin(x + x2)
x
→ 1 pro x → 0
3
!! bez pˇredpokladu (a) nebo (b) se nelze obej´ıt: definuji f(x) = 0 pro
∀x ∈ R, g(y) = 0 pro y 6= 0 a g(0) = 1. Potom f(x) → 0 pro x → 0,
g(y)
→ 0 pro y → 0, avˇsak g(f(x)) → 1 pro x → 0.
Pozn´
amka.
V´yrok f (x)
→ ∞ pro x → x0 m˚
uˇzeme ekvivalentnˇe napsat jako
∀K > 0
∃δ > 0
x ∈ P (x0, δ) =⇒ f(x) > K .
Podobnˇe f (x)
→ −∞ pro x → x0 je ekvivalentn´ı
∀L < 0
∃δ > 0
x ∈ P (x0, δ) =⇒ f(x) < L .
Vˇ
eta 2.7.
(Aritmetika limit - obecn´a verze.) Nechˇt f (x)
→ A, g(x) → B
pro x
→ x0, kde A, B ∈ R∗. Potom
(1) f (x) + g(x)
→ A + B
(2) f (x)
− g(x) → A − B
(3) f (x)
· g(x) → A · B
(4)
f (x)
g(x)
→
A
B
pro x
→ x0, m´a-li v´yraz napravo smysl.
Pˇ
r´ıklady.
1
1
x
2 +1 →
1
∞·∞+1 = 0 pro x → ∞
2
x
3 + 3x2 + 4 = x3(1 + 3
x +
4
x
3
)
→ (−∞)
3(1 + 3
−∞ +
4
(−∞)
3
) =
−∞ pro
x
→ −∞
Pozn´
amka.
Proˇc nedefinuji nˇekter´e v´yrazy, napˇr. ∞