Reálné fce., Limita a Spojitost
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
±∞)
• jedin´y rozd´ıl mezi U(x0, δ) a P (x0, δ): bod x0
• pro x0 ∈ R plat´ı:
U(x0, δ) =
x ∈ R; |x − x0| < δ
P (x0, δ) =
x ∈ R; 0 < |x − x0| < δ
• p´ıˇseme U(x0) m´ısto U(x0, δ), pokud na δ nez´aleˇz´ı; obrat ”na jist´em P (x0)
plat´ı...” je zkratka za ”existuje δ > 0 tak, ˇze pro kaˇzd´e x
∈ P (x0, δ) plat´ı...”
Vˇ
eta 2.1.
(Hausdorff˚
uv princip oddˇelen´ı.) Nechˇt x0, x1
∈ R∗, x0 6= x1.
Potom existuje δ > 0 tak, ˇze U(x0, δ)
∩U(x1, δ) = ∅. Speci´alnˇe x0 /
∈ U(x1, δ).
Definice.
Nechˇt x0
∈ R∗, nechˇt f(x) je definov´ana na jist´em P (x0, δ). ˇ
C´ıslo
A
∈ R∗ se nazve limitou f(x) v bodˇe x0, jestliˇze
∀ε > 0
∃δ > 0
x ∈ P (x0, δ) =⇒ f(x) ∈ U(A, ε) .
Znaˇc´ıme f (x)
→ A pro x → x0, nebo lim
x
→x0
f (x) = A.
Terminologie: pokud A
∈ R, jde o limitu vlastn´ı (koneˇcnou), pro A = ±∞
je limita nevlastn´ı.
Pozn´
amky.
• limita v x0 nez´avis´ı na f(x0), f nemus´ı b´yt v x0 ani definov´ana
• n´azornˇe: x bl´ızko x0, ale r˚
uzn´e od x0 =
⇒ f(x) bl´ızk´e (nebo rovn´e) A
• ekvivalentn´ı z´apis:
∀ε > 0
∃δ > 0
f P (x0, δ) ⊂ U(A, ε) .
speci´alnˇe pro x0, A
∈ R:
∀ε > 0
∃δ > 0
0 < |x − x0| < δ =⇒ |f(x) − A| < ε .
• limita (pokud existuje) je nejv´yˇse jedna
2
Pˇ
r´ıklady.
1
limx→2 x
2 = 4
2
limx→0 x−
2 = ∞
3
Dirichletova funkce
D(x) =
(
1 x
∈ Q
0 x /
∈ Q
nem´a limitu v ˇz´adn´em bodˇe.
Definice.
Nechˇt x0
∈ R∗, nechˇt f(x) je definov´ana na jist´em P+(x0, δ)
(respektive P−(x0, δ)). ˇ
C´ıslo A
∈ R∗ se nazve limitou f(x) v bodˇe x0 zprava
(resp. zleva), jestliˇze
∀ε > 0
∃δ > 0
x ∈ P+(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ U(A, ε)
respektive
∀ε > 0
∃δ > 0
x ∈ P−(x0, δ) =⇒ f(x) ∈ U(A, ε) .
Znaˇc´ıme f (x)
→ A pro x → x0+, lim
x
→x0+
f (x) = A, resp. f (x)
→ A pro
x
→ x0−, lim
x
→x0−
f (x) = A.
Pˇ
r´ıklady.
1
pro funkci signum
sgn x =
1
x > 0
0
x = 0
−1 x < 0
plat´ı: limx→0+ sgn x = 1, limx→0− sgn x = −1
2
lim
x
→0±
x−1 =
±1
Vˇ
eta 2.2.
N´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı jsou ekvivalentn´ı:
(1) limx→x
0 f (x) existuje a rovn´
a se A
(2) limity limx→x
0
+ f (x), limx→x0− f (x) existuj´ı a rovnaj´ı se t´
emuˇz A
Lemma 2.1.
(1) Nechˇt f (x) m´a v bodˇe x0 vlastn´ı limitu. Potom f (x) je
omezen´a na jist´em P (x0).
(2) Nechˇt f (x) m´a v bodˇe x0 limitu (i nevlastn´ı), r˚
uznou od 0. Potom f (x)
je na jist´em P (x0) “odraˇzen´a od nuly”, tj.
∃δ > 0
∃∆ > 0
x ∈ P (x0, δ) =⇒ |f(x)| > ∆ .
Vˇ
eta 2.3.
(Aritmetika limit - 1. verze.) Nechˇt f (x)
→ A, g(x) → B pro
x
→ x0, kde A, B ∈ R. Potom
(1) f (x) + g(x)
→ A + B
3
(2) f (x)
− g(x) → A − B
(3) f (x)
· g(x) → A · B
(4) pokud B
6= 0, tak
f (x)
g(x)
→
A
B
pro x
→ x0.
Vˇ
eta 2.4.
Nechˇt f (x) je omezen´a na jist´em P (x0), nechˇt g(x)
→ 0 pro
x
→ x0. Potom f(x) · g(x) → 0 pro x → x0.