Pravděpodobnost - úvod, vlastnosti

4. Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta.

Věta o úplné pravděpodobnosti

• Nechť Ω =$\ \bigcup_{i = 1}^{n}E_{i}$ , kde Ei jsou jevy navzájem disjunktní a P (Ei) > 0, ∀i. Potom pravděpodobnost náhodného jevu A je rovna:

$$P\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{P(A|E_{i}) \bullet P(E_{i})}$$

Bayesova věta – z definice podmíněné pravděpodobnosti

• Nechť P(A) > 0 a P(B) > 0 (=> symetrie průniků). Potom platí

$$P\left( A \middle| B \right) = \frac{P(B|A) \bullet P(A)}{P(B)}$$

Bayesova věta – obecněji rozepsáním věty o úplné pravděpodobnosti (rozepsání jmenovatele)

• Nechť Ω =$\ \bigcup_{i = 1}^{n}E_{i}$ , kde Ei jsou jevy navzájem disjunktní a P (Ei) > 0, ∀i a P(B) > 0. Potom

$$P\left( E_{j} \middle| B \right) = \frac{P\left( B \middle| E_{j} \right) \bullet P\left( E_{j} \right)}{\sum_{i = 1}^{n}{P\left( B \middle| E_{i} \right) \bullet P\left( E_{i} \right)}}$$