Pravděpodobnost - úvod, vlastnosti

1. Náhodný jev, elementární jev, jev nemožný a jistý. Různé definice pravděpodobnosti.

Náhodný jev – výsledek pokusu (konaný za daných stejných podmínek), dopředu nelze určit který z množiny výsledků Ω nastane

Deterministický jev (nenáhodný) – za daných podmínek je stále stejný výsledek (např bod varu vody za atmosférického tlaku a teploty 25 °C je vždy 100 °C)

Elementární náhodný jev ω – náhodný jev který už nelze rozdělit na menší podjevy. Množina všech elementárních jevů/množina všech možných výsledků se značí Ω

Náhodné jevy jsou podmnožiny množiny Ω

Symbolika náhodných

• jevů Ω . . . jev jistý

• ∅ . . . jev nemožný

• A ⊂ B nastane-li jev A, nastane i jev B

• C = A ∪ B . . . jev C nastane, nastane-li alespoň jeden z jevů A, B

• C = A ∩ B . . . jev C nastane, nastanou-li oba jevy A, B zároveň

• C = A \ B . . . jev C nastane, nastane-li jev A, ale nenastane jev B

• Ac = Ω \ A . . . jev doplňkový k jevu A (jiné možné značení A¯, A´)

• pokud A ∩ B = ∅, nazýváme jevy A, B disjunktní (neslučitelné)

Definice pravděpodobnosti

• Klasická definice pravděpodobnosti (konečně mnoho možností)

  • „počet příznivých možností ku počtu všech možností“

  • P (A) = m/n

• Statistická definice pravděpodobnosti

  • Pro n pokusů nastal jev A v nA případech. Odhad pravděpodobnosti je přibližně

nA/n ≈ P (A)

• P (A) = $\operatorname{}\frac{n_{A}}{n}$

• Geometrická pravděpodobnost

  • Spojitá analogie klasické definice, možnosti spadají do množiny Ω ⊂ Rd

  • Pravděpodobnost, že výsledek pokusu padne do nějaké množiny je úměrná velikosti této množiny vzhledem k velikosti množiny Ω

  • Pravděpodobnost že náhodný jev A padne do množiny S je

P (A) = µ(S)/µ(Ω) µ - velikost množiny (délka, obsah, objem)

• Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravděpodobnosti

  • Pravděpodobnost je zobrazení z množiny jevů F do [0,1]

P : A → P (A) ∈ [0, 1],

• Musí splňovat 3 axiomy

• F musí splňovat vlastnosti tzv. σ−algebry

2. Vlastnosti pravděpodobnosti. Vlastnosti doplňku jevů, průniku a sjednocení dvou jevů

3. Nezávislost jevů, podmíněná pravděpodobnost a její vlastnosti

Podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B

• značíme P (A|B)

• $P\left( A \middle| B \right) = \frac{P(A\ \cap \ B)}{P(B)}$

• Podmíněná pravděpodobnost je velmi podobná klasické pravděpodobnosti, jen platí v menším rozsahu (pouze “ve světě B“)

• Vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti:

• Průnik je symetrický --> proto pokud platí, že P(A) > 0, platí i

  • $P\left( B \middle| A \right) = \frac{P(A\ \cap \ B)}{P(A)}$

  • P (A ∩ B) = P (A|B) . P (B) = P (B|A) . P (A)

Nezávislost jevů

• Jevy A a B jsou nezávislé pokud platí – P (A ∩ B) = P (A) . P (B)

• Rozšíření pro více jevů

• Z definice podmíněné pravděpodobnosti

  • P (A) > 0, P (B) > 0. Potom jsou jevy A a B nezávislé pokud

    • P (A|B) = P (A) nebo P (B|A) = P (B)