Pravděpodobnost - významná rozdělení

8. Některá významná diskrétní a spojitá rozdělení (uveďte od každého alespoň dvě).

Diskrétní rozdělení

1. Diskrétní rovnoměrné rozložení

• náhodná veličina X nabývá pouze hodnot {1, …, n} s pravděpodobnostmi $\frac{1}{n}$

• značíme X ∼ R ({1, …, n})

• pravděpodobnost – P (X = i) = $\frac{1}{n}$ , i ∈ {1, …, n}

• střední hodnota – EX = $\frac{n + 1}{2}$

• rozptyl – varX = $\frac{n^{2} - 1}{12}$

2. Alternativní rozdělení - X ∼ Alt(p), p ∈ (0,1)

• náhodná veličina X nabývá pouze hodnot 0 a 1

• typický příklad – 1 značí úspěch, 0 – neúspěch při házení na basketbalový koš

• pravděpodobnosti

  • P (X = 1) = p

  • P (X = 0) = 1 – p

• Střední hodnota – EX = p

• Rozptyl – varX = p (1 – p)

3. Binomické rozdělení - X ∼ Bi (n, p), n ∈ N, p ∈ (0, 1)

• Náhodná veličina X nabývá hodnot k = 0, …, n

• Pravděpodobnost - $P\left( X = k \right) = \left( \frac{n}{k} \right) \bullet p^{k} \bullet {(1 - p)}^{n - k}$, k= 0,1, …, n

• Modelujeme počet úspěchů v na n na sobě nezávislých pokusech (p je pravděpodobnost úspěchu v jednotlivých pokusech)

  • např. deset hodů na koš s pravděpodobností - 80 % úspěch -> Bi (10;0,8)

• Střední hodnota – EX = np

• Rozptyl – varX = np (1 – p)

4. Geometrické rozdělení – X ∼ Ge(p), p ∈ (0, 1)

• Náhodná veličina X nabývá hodnot k = 0, 1, …

• Pravděpodobnost – P(X=k) = p • (1 − p)k , k = 0, 1, …

• Modelace počtu neúspěšných pokusů před prvním úspěchem (jednotlivé pokusy – nezávislé, s pravděpodobností p)

• Střední hodnota – $EX = \frac{1 - p}{p}$

• Rozptyl - $varX = \frac{1 - p}{p^{2}}$

5. Poissonovo rozdělení - X ∼Po (λ), λ > 0

• Rozdělení X je dáno pravděpodobnostní funkcí $P\left( X = k \right) = e^{- \lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}$, k = 0, 1, …

• Modelace počtu výskytů události v určitém intervalu (času, délky, objemu) – události nastávají náhodně a jsou na sobě nezávislé

• Střední hodnota – EX = λ

• Rozptyl – varX = λ

• Spojitost s binomickým rozdělením - ???

Spojitá rozdělení

1. Rovnoměrné rozdělení na intervalu [a, b] – X ∼ R ([a,b]), a < b ∈ R

• Hustota

• Hustota je na intervalu [a, b] konstantní -> pravděpodobnost že X padne do podintervalu je úměrná velikosti podintervalu vůči [a, b]

• Distribuční funkce

• Střední hodnota - $EX = \frac{a + b}{2}$

• Rozptyl – $\frac{1}{12}\left( b - a \right)^{2}$

2. Exponenciální rozdělení – X ∼ Exp (λ), λ > 0

• X nabývá hodnot z intervalu (0, ∞)

• Hustota závisí na parametru λ

• Distribuční funkce

• Střední hodnota – $EX = \frac{1}{\lambda}$

• Rozptyl – $varX = \frac{1}{\lambda^{2}}$

• Tzv. rozdělení bez paměti - ???

• Modelace doby čekání na událost, teorie přežití, v kombinaci s Poissonem – systémy hromadné obsluhy

• Souvislost s Poissonovým rozdělením